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1、第十一讲 导数在研究函数中的应用知识要点1. 求函数的单调性： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间可导， （1）如果恒，则函数在区间上为增函数； （2）如果恒，则函数在区间上为减函数； （3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数的定义域；求导数；解不等式，解集在定义域的不间断区间为增区间；解不等式，解集在定义域的不间断区间为减区间。反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值围）：设函数在区间可导，(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间)；(2) 如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间)；(3)
2、 如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。2. 求函数的极值： 函数的极值的定义： 设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称是函数的极小值（或极大值）。求函数单调性步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的全部实根，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，和值的变化情况：x正0负负0负增极大值减减极小值减 （4）检查的符号并由表格判断极值。左正右负极大；左负右正极小3. 求函数的最大值与最小值： 函数最大值与最小值定义：如果函数在定义域I存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域极值不一定唯一，但在定义域的最值是唯一的。求函
3、数在区间上的最大值和最小值的步骤： （1）求在区间上的极值； （2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。 4. 解决不等式的有关问题：（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。的值域是闭区间时，不等式恒成立的充要条件是，；不等式恒成立的充要条件是。的值域是开区间时，不等式恒成立的充要条件是；不等式恒成立的充要条件是。（2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明。典例精析例1.求下列函数的导数（1） (2) （3） 例2已知函数，求函数的单调区间；求函数的极值，并画出函数的草图；当时，求函数的最大值与最小值.例3讨论函数y=x2sinx在(0，2)
4、的单调性.例4已知函数 （I）当的单调区间和极值； （II）若函数在1，4上是减函数，数a的取值围。例5.（1）（市2016届高三1月调研）已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当(是函数的导函数)成立, 若，,则的大小关系是( ） A B C D （2）. 已知函数是定义在R上的奇函数，则不等式的解集是 例6.（05理）已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值围. 例7. 已知函数存在单调减区间求的取值围。例8.已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立
5、，数a的取值围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立例9.已知f(x)ax2 (aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值围例10. 已知函数为自然对数的底数）（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。参考答案例1.（1） (2) （3） 例2解：由，得，函数单调递增；同理，或函数单调递减.由得下表：0+0单调递减极小值f(-2)单调递增极大值
6、f(2)单调递减极小值=-16，极大值=16.由f(-x)=-f(x)，知f(x)是奇函数，得草图如图所示：结合及，得下表：0+端点函数值f(-3)=-9单调递减极小值f(-2)=-16单调递增端点函数值f(1)=11比较端点函数及极值点的函数值，得极小值=f(-2)=-16,例3解： y=12cosx, x(0, 2)，由y0，得x, 即y=f(x)在(,)是单调递增；同理，由y0，得0x或x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增当0tt2，即0t时，f(x)minf()；当t0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增
7、，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)证明问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到从而对一切x(0，)，都有ln x成立例9.解(1)F(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，所以F(x)2ax (x0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2
8、)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解由(x)易知，(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)()所以(x)min(e)，如图可知(x)a有两个不等解时需a.即f(x)g(x)在，e上有两个不等解时a的取值围为a.例10. 解：（1）当恒成立上是增函数，F只有一个单调递增区间（0，-），没有最值3分当时，若，则上单调递减；若，则上单调递增，时，有极小值，也是最小值，即6分所以当时，的单调递减区间为单调递增区间为，最小值为，无最大值7分 （2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点8分来源:学_科_网由（1）的结论可知10分此时， 的图象的唯一公共点坐标为又的图象在点处有共同的切线，其方程为，即13分综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为14分方法二：设图象的公共点坐标为，根据题意得高考资源网高考高考￥资%源网资源网即由得，代入得 从而10分此时由（1）可知 时，因此除外，再没有其它，使13分 故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为14分
