《高考理科数学导学导练：第10章-计数原理10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学导学导练：第10章-计数原理10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 考纲要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题,1分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有_种不同的方法,Nmn,2分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有_种不同的方法 3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法
2、都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,Nmn,【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同() (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事() (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成(),(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1，2，3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法() (5)在分步乘法计数原理中，
3、每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的() 【答案】 (1)(2)(3)(4)(5),1(教材改编)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲则不同的传递方式共有() A5种B2种 C3种 D4种 【解析】 传递方式有甲乙丙甲；甲丙乙甲 【答案】 B,2从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为() A6 B5 C3 D2 【解析】 5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法 【答案】 B,3现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(),A24种 B30种 C36
4、种 D48种 【解析】 按ABCD顺序分四步涂色，共有432248种 【答案】 D,4用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答) 【解析】 数字2，3至少都出现一次，包括以下情况： “2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C4个四位数 “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C6个四位数 “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C4个四位数 综上所述，共可组成14个这样的四位数 【答案】 14,5(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种 【解析】 每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同
5、学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2222232(种) 【答案】 32,题型一分类加法计数原理的应用 【例1】 高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人 (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？,【解析】 (1)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共
6、有55种选法 根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有506055165种选法,(2)完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法 综上知，共有30302080种选法,【方法规律】 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,跟踪训练1 (2015四川)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 00
7、0大的偶数共有() A144个B120个 C96个 D72个 【解析】 由题意知，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3A72个；若万位是4，则有2A48个，故比40 000大的偶数共有7248120个选B. 【答案】 B,题型二分步乘法计数原理的应用 【例2】 (1)(2017青岛模拟)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有() A12种 B18种 C24种 D36种 (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法,【解析】 (1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此
8、共有6种不同排法； 再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法 因此共有62112种不同的排列方法,(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120种 【答案】 (1)A(2)120,【引申探究】 1本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？ 【解析】 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不
9、同的报名方法共有36729种,2本例(2)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？ 【解析】 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216种,【方法规律】 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成,跟踪训练2 (1)(2017商洛一模
10、)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花() A3 360元 B6 720元 C4 320元 D8 640元,(2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为_ 【解析】 (1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法，根据分步乘法计数原理，得共有891064 320种，所以至少需花4
11、 32028 640(元),(2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法根据分步乘法计数原理，三位数个数为554100. 【答案】 (1)D(2)100,题型三两个计数原理的综合应用 【例3】 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数,【解析】 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360种染
12、色方法 当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C、D还有3227种染法，故不同的染色方法有607420(种),方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色 第一步，S点染色，有5种方法； 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；,第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为
13、C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种) 方法三 按所用颜色种数分类 第一类，5种颜色全用，共有A种不同的方法；,【方法规律】 (1)应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步 (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键 (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成 (4)较复杂的问题可借助图表完成,跟踪训练3 (2017南京模拟)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有_种.,【解析】
14、 按区域1与3是否同色分类 区域1与3同色：先涂区域1与3，有4种方法， 再涂区域2，4，5(还有3种颜色)，有A种方法 区域1与3涂同色，共有4A24种方法 区域1与3不同色：先涂区域1与3，有A种方法， 第二步，涂区域2有2种涂色方法，,第三步，涂区域4只有一种方法， 第四步，涂区域5有3种方法 这时共有A21372种方法 故由分类加法计数原理，不同的涂色方法的种数为247296. 【答案】 96,易错警示系列15 对两个基本原理认识不清致误 【典例】 (1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有() A24种 B4种 C43种 D34种,(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船
15、，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有_种,【易错分析】 解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信箱中；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算,【解析】 (1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法
16、,(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有437种 【答案】 (1)C(2)7,【温馨提醒】 (1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择 (2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.,方法与技巧 1分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事,2分类标准要明确，做到不
