《人教版高中数学必修二第1章1.21.2.3空间几何体的直观图》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修二第1章1.21.2.3空间几何体的直观图（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.3空间几何体的直观图 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的 步骤 (重点) 2 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图 形的直观图 (难点) 3强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的 相互转换 (易错、易混点 ) 通过学习空间几何体直 观图的画法，培养直观想 象、逻辑推理、数学运算 的数学素养 . 1斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图斜二测 画法是一种特殊的平行投影画法 2平面图形直观图的画法及要求 思考： 相等的角在直观图中还相等吗？ 提示不一定例如正方形的直观图为平行四边形 3空间几何体直观图的画法
2、 (1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z 轴； (2)平面 x O y 表示水平平面，平面y O z 和 x Oz表示竖直平面； (3)已知图形中平行于z 轴(或在 z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度 都不变 (4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线 思考： 空间几何体的直观图唯一吗？ 提示不唯一作直观图时 ，由于选轴的不同 ，画出的直观图也不同 1长方形的直观图可能为下图中的哪一个() ABCD C由斜二测画法知 ，平行线依然平行 ，但是直角不再是直角 ，所以正 确 2梯形的直观图是 () A梯形B矩形 C三角形D任意四边形 A斜二测画法中平行性
3、保持不变，故梯形的直观图仍是梯形 3在用斜二测画法画水平放置的ABC 时，若 A 的两边平行于x 轴、y 轴，则在直观图中， A_ 45或 135 因A 的两边平行于 x 轴、y 轴，故A90，在直观图中 ， 按斜二测画法规则知 xO y 45或 135，即A 45或 135. 平面图形的直观图 【例 1】 (1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD， 它在直角坐标系xOy 中，点 B 的坐标为 (2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A B C D 中， 顶点 B 到 x 轴的距离为 _ 2 2 正方形的直观图 A B C D 如下图： 因为 O A B C 1，B C x 45，
4、 所以顶点 B 到 x 轴的距离为 1sin 45 2 2 . (2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE 的直观图 解画法： 在下图 中作 AGx 轴于 G，作 DHx 轴于 H. 在图 中画相应的 x 轴与 y 轴，两轴相交于点 O ，使x O y 45. 在图 中的 x 轴上取 OB OB，O G OG， OCOC，O H OH，y 轴上取 OE 1 2OE， 分别过 G 和 H 作 y 轴的平行线 ，并在相应的平行线上取G A 1 2GA，H D 1 2HD； 连接 A B ，A E ，E D ，DC，并擦去辅助线 G A ， HD ， x 轴与 y 轴， 便得到水平放置的正五边形AB
5、CDE的直观图 A BC DE(如 图) 画平面图形的直观图的技巧： (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般 要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点 (2)画平面图形的直观图 ，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变 )，与坐标 轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段 1画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示 解(1)在已知的直角梯形OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系画相应的x 轴和 y轴，使 xO y 45，如图所示 (2)在 x 轴上截取 O
6、B OB，在 y轴上截取 O D 1 2OD，过点 D 作 x 轴的平 行线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C 使得 D C DC.连接 BC ，如图. (3)擦去辅助线 ，所得四边形 O B C D 就是直角梯形OBCD 的直观图如图 . 画空间几何体的直观图 【例 2】已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单 位：cm) 解画法：(1)如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使xOy 45，xOz90. (2)以 O 为中点 ，在 x 轴上取线段 OB8 cm，在 y 轴上取线段 OA 2 cm， 以 OB 和 OA 为邻边作平行四边形OBB A. (3)在 z轴上取
7、线段 OC4 cm，过 C 分别作 x 轴、y 轴的平行线 ，并在平行 线上分别截取 CD4 cm，CC 2 cm.以 CD 和 CC为邻边作平行四边形CDD C. (4)成图连接 AC ，BD，BD ，并加以整理 (去掉辅助线 ，将被遮挡的部分 改为虚线 )，就得到该几何体的直观图(如图) 画空间几何体时 ，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后 根据平行于 z 轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面 ，所以画 空间多面体的步骤可简单总结为： 画轴 画底面 画侧棱 成图 2用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm 的长方体 ABCD-AB C D 的
8、直观图 解画法：(1)画轴如图，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使xOy 45，xOz90. (2)画底面以点 O 为中点 ，在 x 轴上取线段 MN，使 MN4 cm；在 y 轴上 取线段 PQ，使 PQ3 2 cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线 ，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线 ，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形 ABCD 就是长方体的底 面 ABCD. (3)画侧棱过 A，B，C，D 各点分别作 z 轴的平行线 ，并在这些平行线上 分别截取 2 cm 长的线段 AA，BB ，CC ，DD . (4)成图顺次连接A ，B ，C ，D ，并加以整理 (
9、去掉辅助线 ，将被遮挡的 部分改为虚线 )，就得到长方体的直观图 直观图的还原与计算 探究问题 1 如图， A B C 是水平放置的 ABC 斜二测画法的直观图 ， 能否判断 ABC 的形状？ 提示根据斜二测画法规则知： ACB90，故ABC 为直角三角形 2若探究 1 中A BC 的 A C 6，B C 4，则 AB 边的实际长度是多少？ 提示由已知得 ABC 中，AC6，BC8，故 ABAC2BC210. 3如图所示 ，A BC 是水平放置的 ABC 的直观图 ，则在ABC 的三边 及中线 AD 中，最长的线段是哪个？ 提示由直观图可知 ABC 是以B 为直角的直角三角形 ，所以斜边 AC
10、 最长 【例 3】(1)如图， RtO A B 是一个平面图形的直观图，若OB 2， 则这个平面图形的面积是() A1B2C2 2D4 2 (2)如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图 若 A1D1O y， A1B1C1D1，A1B12 3C1D12，A1D1O D11.试画出原四边形，并求原图形的 面积 思路探究 ：逆用斜二测画法 ，还原图形 先定点 ，再连线得原图形 ，求面积 (1)C由题图知 ，OAB 为直角三角形 O B 2，A B 2，O A 2. 在原 OAB 中，OB2，OA4， SOAB 1 2 242 2.选 C. (2)解：如图，建立直角坐标系xO
11、y，在 x 轴上截取 ODO D11；OCOC1 2. 在过点 D 与 y 轴平行的直线上截取DA2D1A12. 在过点 A 与 x 轴平行的直线上截取ABA1B12.连接 BC，便得到了原图形 (如图) 由作法可知 ，原四边形 ABCD 是直角梯形 ，上、下底长度分别为AB2， CD3，直角腰长度为 AD2. 所以面积为 S 23 2 25. 1本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，ABC45，ABAD1， DCBC，求原图形的面积 解如图，在直观图中 ，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，则在 RtABE 中，AB1，ABE45，所以 BE 2 2 . 而四边形 AECD 为矩形 ，
12、AD1，所以 ECAD1. 所以 BCBEEC 2 2 1. 由此可还原原图形如图 ，是一个直角梯形 在原图形中 ，AD 1，AB 2，B C 2 2 1，且 A DB C，AB B C， 所以原图形的面积为S1 2(A D B C) A B 1 2 11 2 2 22 2 2 . 2 本例(1)若改为“已知 ABC是边长为 a 的正三角形，求其直观图 A B C 的面积”，应如何求？ 解由斜二测画法规则可知 ，直观图 A B C一底边上的高为 3 2 a1 2 2 2 6 8 a， 所以 SA B C 1 2a 6 8 a 6 16 a2. 3本例 (1)中直观图中 O AB的面积与原图形面
13、积之比是多少？ 解由(1)中直观图可得 SO A B1 2 221， 原图形面积为 SOAB2 2. 所以 SO A B SOAB 1 2 2 2 4 . 1直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x 轴、y 轴平行的直线或线段 ，且平行 于 x 轴的线段还原时长度不变 ，平行于 y轴的线段还原时放大为直观图中相应线 段长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可 2直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S ，则有 S 2 4 S或 S 2 2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形 面积 1斜二测画法是联系直观图和
14、原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系 寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而 确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形 2在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍 然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小 1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误 的是() A原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直 C原来平行的仍平行D原来共点的仍共点 B由斜二测画法规则知 ，B 选项错误故选 B. 2利用斜二测画法画出边长为3 cm 的正方形的直观图，正确的是() ABCD C正方形的直观图应是一个
15、内角为45的平行四边形 ，且相邻的两边之 比为 21，故选 C. 3如图，平行四边形O P Q R 是四边形 OPQR 的直观图，若 O P3，O R 1，则原四边形 OPQR 的周长为 _ 10由直观图可知 ，原图形是矩形 OPQR，且 OP3，OR2. 故原四边形 OPQR的周长为 10. 4画出水平放置的四边形OBCD(如图所示 )的直观图 解(1)过点 C 作 CEx 轴，垂足为点 E，如图所示，画出对应的 x轴、 y轴，使xO y 45，如图所示 (2)如图所示，在x 轴上取点 B ，E，使得 O B OB，O E OE；在 y 轴 上取一点 D ，使得 O D 1 2OD；过点 E 作 E C y 轴，使 E C 1 2EC. (3)连接 B C ，C D ，并擦去 x 轴与 y 轴及其他一些辅助线，如图所示， 四边形 O B C D 就是所求的直观图
