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1、可靠度实用计算方法,4.1结构可靠性分析的基本概念和原理,结构可靠性分析是基于事物具有不确定性这样一个基本观点，利用适当的数学模型建立这些不确定性与结构性能之间的联系，则是结构可靠性理论所研究的主要问题。工程结构可靠性分析与广泛应用于电子学、机械学等领域的可靠性分析有其自身的一些特点： （1）大多数电子、机械部件和系统，在使用过程中由于温度升高、机械磨损、疲劳、超负荷和其他原因而损坏，因此考虑它们的寿命是很自然的。除了由于腐蚀和疲劳机理而破坏之外，土木工程结构体系不是被逐渐破坏的，甚至在某些情况下它的强度会增强，例如混凝土的强度随龄期增加，土壤的强度由于固结而增大。因此它们一般不是在使用中失效
2、。 （2）大多数电子和机械部件是大批量生产，并且名义上可假定是相同的，可用相对频率来解释失效概率。但对于土木工程结构，现场施工而成，并非是大批量生产。用相对频率来解释失效概率的处理方法显然是不合适的。,工程结构设计大致可以分为两个步骤： 第一步是选择合理的结构方案和型式， 第二步是设计结构或构件截面 ）选择合理的结构计算模型（计算简图）； ）荷载与内力计算及荷载效应组合 ）结构或构件截面设计与验算； ）确定合理的截面尺寸与材料用量等。 当结构计算模型选定后，需要涉及许多参数。这些参数可归纳为主要的两大类： 一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数，包括施加在结构上的直接作用或引起结构外
3、加变形或约束变形的间接作用，如结构承受的设备、车辆及施加于结构的刚荷载、雪荷载、土压力、温度作用等。 另一类是与结构或构件抗力的有关参数，如材料强度、截面尺寸、连接条件等。 它们共同构成了结构设计的基本变量，它们的统计规律构成了可靠性理论的基础。我们就把这些决定结构静态或动态反应的设计参数，定义为结构设计基本随机变量。,以R表示结构的抗力结构的承载力或允许变形； 以S表示结构的作用效应由结构上的作用所引起的各种内力、变形、位移等； 则判断结构是否可靠的功能函数为Zg(R,S)=RS 结构不能完成预定功能的概率为失效概率，表示为Pf ：,利用上式计算结构的失效概率当然是最理想最精确的，但是在实际
4、应用中却有以下困难： 首先，由于影响结构可靠性的因素很多，极为复杂，有些因素的研究尚不够深入，因此在现有条件下，没有充足的数据来确定n个基本随机变量的联合概率密度函数，甚至也很难有足够的数据保证边缘分布函数和协方差是可信的； 其次，即使联合概率密度函数是已知的，但当变量较多或功能函数为非线性时，上式确定的积分也会亦得相当复杂。,对于大多数问题不存在解析解，人们通常采用一些近似方法来求出结构的可靠指标。 当R、S 相互独立，且均服从正态分布时，则ZRS 也服从正态分布，结构可靠指标与失效概率Pf 具有一一对应的关系。,在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）是比较容易得到的参数，故国内外目
5、前广泛采用均值(一阶原点矩)和标准差(二阶中心矩)来计算结构可靠度。当结构功能函数为非线性函数时，则设法对其进行线性化处理。具有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSM）。,4.2 中心点法,该法首先将结构功能函数在随机变量的平均值（中心点）算用泰勒级数展开并取线性项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差。可靠指标直接用功能函数的平均值和标准差之比表示。 设结构的功能函数为 g(X1 , X2 Xn) 极限状态方程为 g(X1 , X2 , Xn)=0，其中i (i=1,2,n)生成的空间记为， (X1 , X2 , Xn) 表示中的点。 按泰勒级数展开,取线性项，做线性化处理 极限状态方程为
6、 平均值和方差为,点M(X1 , X2 Xn) ，称为的中心点，它以各基本变量的均值为坐标。极限状态方程所对应的曲面将空间分为结构的可靠区和失效区，所对应的曲面称为失效边界。中心点位于结构的可靠区内,中心点法的最大特点是：,计算简单，运用中心点法进行结构可靠性计算时，不必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计参数：均值、标准差或变异系数，即可按上式计算可靠指标值以及失效概率f 。 若值较小，即f 值较大时，f 值对基本变量联合概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的f 值大致在同一个数量级内； 若值较大，即f 值较小时，f 值对基本变量的联合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计
7、算出的f 值可在几个数量级范围内变化。,中心点法存在以下不足：,（）不能考虑随机变量的实际分布，只取用随机变量的一阶矩（均值）和二阶矩（方差），可靠指标 1.02.0的结果精度高；当f 10-5 时，使用中心点法必须正确估计基本变量的概率分布和联合分布类型。因此计算结果比较粗糙； （）对于非线性结构的功能函数，由于随机变量的平均值不在极限状态曲面上，进行线性化处理展开后的线性极限状态平面，可能会较大程度地偏离原来的可靠指标曲面；所以误差较大，且这个误差是无法避免的。 （）对有相同力学含义但不同表达方式的极限状态方程，由中心点法计算的可靠指标可能不同。,算例,有一根圆截面拉杆 材料的屈服强度fy
8、 的均值和标准差分别为 fy355MPa，fy26.8MPa 杆件直径d的均值和标准差分别为 d14mm，d0.7mm， 承受拉力的均值和标准差分别为 d25KN，d6.25KN， 求该拉杆的可靠指标。 解：（）采用极限荷载表示的极限状态方程,可靠指标为,（）采用应力极限状态方程,因此,可靠指标为,计算表明，对于同一问题，当采用不同型式的极限状态方程时，可靠指标值不同，甚至相差较大（如本例），这就是前面所提不能抑制中心点法的严重不足之处。,4.3 法 (验算点法 ),为了克服中心点法的不足，哈索弗尔和林德N.C. Lind 、拉克维茨R. Rackwitz和菲斯莱(Fiessler) 等人提出
9、验算点法。 它的特点是： （）能考虑随机变量的实际分布类型，并通过“当量正态化”途径，把非正态变量当量化为正态变量； （）线性化点不是选在平均值处，而是选在失效边界上，并且该线性化点（设计验算点）是与结构最大可能失效概率相对应的。 这种方法被国际安全联合委员会（JCSS）推荐采用，因此，亦称法。,作为对中心点法的改进，主要有两个特点： （）当功能函数Z为非线性时，不以通过中心点的超切平面作为线性近似，而以通过Z0上的某一点X* (x1*, x2*, , xn*)超切平面作为线性近似，以避免中心点方法中的误差。 （）当基本变量xi 具有分布类型的信息时，将xi 的分布在 (x1*, x2*, ,
10、 xn*)处以与正态分布等价的条件，变换为当量正态分布，这样可使所得的可靠指标与失效概率之间有一个明确的对应关系，从而在中合理地反映了分布类型的影响。 这个特定点(x1*, x2*, , xn*)我们称之为验算点。 设功能函数g (x1, x2, , xn)按 将X空间变换到空间，得 g1(U1,U2,Un),可靠指标在几何上就是U空间内从原点（即中心点）到极限状态超曲面0的最短距离。在超曲面0上，离原点最近的点P*(u1*,u2*,un*)即为验算点。这样很容易写出通过验算点P*在超曲面Z0上的超切平面的方程式,由于P*是()0上的一点，因此 则得超切平面的方程式为,类似于两个正态随机变量的
11、情况，此时的可靠指标是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离，也就是P*点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度。如图3所示为三个正态随机变量的情况，P*为“设计验算点”。,1、两个正态随机变量的情况,设结构极限状态方程为 Z =g ( R , S ) R S 0 在 SOR 坐标系中,极限状态方程是一条过原点的直线,它的倾角为45如图(1)所示。 对随机变量 R 和 S 进行标准化变换，得到（参见图(2)）,原坐标系和新坐标系之间的关系为 RR R R SS S S 将式（2）带入极限状态方程 R S 0中，可得新坐标系中的极限状态方程为 (R R R ) (S S S
12、) 0 R R S S R S 0 R cosR S cosS =0,在验算点法中,的计算就转化为求OP*的长度。cosR与cosS是法线OP*对坐标向量R及S的方向余弦，垂足P*是极限状态方程上的一点,称为“设计验算点”。 在满足Z =R S 0 的各组(S,R)中,设计验算点是最有可能使结构发生失效的一组取值。 P*的坐标分别为： R = cosR S = cosS 由于P*点在极限状态 直线上，所以（R*，S*） 也必然满足 Z = R*-S*=0,2.多个正态随机变量的情况,设结构的极限状态方程为g (x1, x2, , xn) ， x1, x2, , xn 服从正态分布且相互独立。
13、它表达为坐标系OX1, X2, , Xn中的一个曲面，这个曲面把 n 维空间分成安全区和失效区两个区域。 对随机变量 x1 ( i =1,2, n)进行标准化转换，得到标准化正态随机变量 则极限状态方程在坐标系OX1, X2, , Xn中表达为 g (X1 X1 + X1, X2 X2 + X2 , , Xn Xn + Xn) = 0,类似于两个正态随机变量的情况，此时的可靠指标是标准化正态空间坐标系中原点到极限状态曲面的最短距离，也就是P*点沿其极限状态曲面的切平面的法线方向至原点的长度。如图3所示为三个正态随机变量的情况，P*为“设计验算点”。,3.非正态随机变量情况(当量正态化法),一般情况下,在结构的极限状态中往往含有非正态随机变量,如结构的抗力一般服从对数正态分布,活荷载一般服从极值型分布或其他分布等。对于这种情况下的可靠度分析,一般要把非正态变量当量化化为正态分布随机变量。,基本原理是首先将非正态变量Xi先行当量正态化。当量正态化的条件是：（1）在设计验算点Xi *处，当量正态化随机变量Xi*的分布函数值与随机变量Xi 的分布函数值相等；（2）在设计验算点Xi *处，当量正态化随机变量概率密度函数值与原随机变量概率密度函数值相等。,
