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1、第二章 应力状态和应变状态,2.1 应力状态 （一）应力张量及其分解、应力不变量,1.应力张量 物体内任意点处的应力状态可以用对称的应力张量表示：,图2.1,由剪应力互等定理知：,用下标表示法，应力张量可表示为：,（21）,2. 主平面和主应力,每一点上存在三个互相正交的平面，在其上只有正应力而没有剪应力,称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。,3. 任意截面上的正应力和剪应力,dF：斜面面积， lx，ly，lz：法线n的方向余弦，简记为li（i=1，2，3）。 p：斜面上的总应力。 px，py，pz：p沿三个坐标轴的分量，简记为pj（j=1，2，3）。 l1dF，l2dF，l3dF：微元体
2、三个坐标面的面积,图2.2,由微元四面体的平衡方程可得： pj=ijli （22） 斜面上的正应力n 为总应力P各分量pj沿n方向投影之和，即 n= pjlj （23） （22）代入（23）得 （24） 斜截面上的剪应力n： （25）,若斜截面是主平面，则 n = 0 p =n=，即p沿n的方向，且等于主应力。故每一pj等于在该方向上的投影： pj=lj （26） （26）代入（22），得到对于方向余弦的一组齐次线性方程： （27）,4. 主应力和主方向, =1 （28） l1，l2，l3不能同时为零。 （27）式的系数行列式必为零。即 = 0 （29） 由此得： （210） （210）有三个
3、实根，对应三个主应力。,（228） 显然，这些根仅与该点的应力状态有关，与坐标轴的选择无关。I1，I2，I3也与坐标轴的选择无关。分别称为应力张量（21）式的第一、第二、第三不变量。,以任一个主应力j（j = 1，2，3） 代入（27），三个方程只有两个独立， 利 用其中的任意两个方程与（28）联 立可解出主应力j（j = 1，2，3）的方向 余弦，从而确定j所在的主平面的方位。 三个主平面的方位互相垂直。,当x，y，z轴和三个主轴方向一致时，有： （212） 平均应力： （213）,因此，已知一点的应力张量，求该点的主应力和主方向的步骤为： （1）将各应力分量代入（211），求出应力不变量。
4、 （2）将应力不变量代入（210），解方程求出三个主应力。 （3）以任一个主应力j（j = 1，2，3） 代入（27），三个方程只有两个独立，利用其中的任意两个方程与（28）联立可解出主应力j（j = 1，2，3）的方向余弦，从而确定j 所在的主平面的方位。,【例1】 试求下述应力状态下的主应力和主方向： 【解】 主应力方程为： 即 分解因式得： 解得：,将各应力分量和1=0代入（27）得： （第三个方程还是 重复）。 0， 代入（28）得： 1的方向余弦为,同理可求，2的方向余弦为 3的方向余弦为,5. 应力张量的分解,平均应力的定义为： （213） 在各方向同时作用有大小为m的应力时，相当
5、于静水压力（或反向的静水压力），不产生塑性变形，所以从应力张量中将各向相同的m分离出来，这对于研究塑性变形更为方便，即,（214） 令： （215）,则（214）变成： （216） ij：Kronecker符号 （217） mij：应力球张量，表示三向相等的正应力； sij：应力偏张量，简称应力偏量。 【分解意义】只有应力偏量对塑性变形有影响，因此研究塑性变形时可以不考虑应力球张量，只考虑应力偏张量。,应力偏张量也是一种可能单独存在的应力状态，也有自己的不变量。仿照（211）式得： （218） J1，J2，J3表示应力偏张量的第一、第二、第三不变量。,当x，y，z轴方向和主轴重合时有： （21
6、9） 由J1=0得：sx+sy+sz=0，即 sz= (sx+sy) （220） （221）,（222） 将（220）、（221）、（222）代入（218）得： （223） （224）,sij是对称张量，因此（223）式还可写为： （225） 因此，求一点的应力偏量的第二不变量J2的方法是： （1）如果已知各应力分量，将各应力分量代入（218）的第二式。 （2）如果已知三个主应力，将各主应力代入（219）的第二式。 （3）也可将各应力偏张量代入（225）。,（二）几种特定截面上的应力,1.任意斜截面上的正应力和剪应力 求得一点处的主平面的方向和主应力大小以后，选三个主应力方向1、2、3为坐标轴
7、，设任意斜截面的法线为n，它对于1、2、3轴的方向余弦为l1，l2，l3。设斜截面上的总应力p分解为沿三个主轴的分量p1，p2，p3。由图2.3所示的微元四面体的平衡得到：,（226）,图2.3,图2.4,斜截面上的正应力n等于p1、p2、p3在法线n方向投影之和，即 （227） 斜截面上的剪应力n为： （228）,2.八面体面上的正应力和剪应力,在图2.4中，主平面用表示，表示与三个主轴成相等倾斜角的斜截面，称为八面体面（或等倾面）。其方向余弦为： (229）,设八面体面上的正应力、总应力和剪应力分别为8、 p8和8。（229）代入（227）得： （230） 再由（226）和（229）得 （
8、231）,将（230）和（231）代入（228），得 （232）式和（219）式第二式对比得 因此，所以要研究八面体面的剪应力，是因为它与应力偏张量不变量J2有关，即与塑性变形有关。,（232）,（233）,定义 为等效应力或应力强度。即复杂应力状态在某种意义上可以用等效的，大小为i的单向应力状态来代替。就是说，等效应力为i的复杂应力状态与单向应力状态1=i ，2 =3 =0的等效应力是相等的。,（234）,定义 (235） 为等效剪应力或剪应力强度。其意义是，原 来的应力状态，在某种意义上可以用等效的， 大小为T的纯剪切应力状态来代替。也就是说， 等效剪应力为T的复杂应力状态与剪应力强度 等
9、于T的纯剪切状态的剪应力强度相等。,8、i、T和J2在塑性本构关系中起重要作用。它们之间的换算关系如下： 表2.1 8、i、T、 J2之间换算表,表中：乙量 = 换算因子f 甲量。,3.斜面上的应力,每个斜截面都平行于一个主应力方向而又与另外两个主应力方向各成45角。这些面上的剪应力分别是： 它们分别是平行于某一主应力轴的所有截面中剪应力最大的截面。,（236）,1、2、3中绝对值最大的一个将是在该点处的最大剪应力。 如果123，则,（237）,（三）三维应力圆 表示应力状态特征的参数,圆A代表平行于1的所有截面上的正应力和剪应力，圆B和C分别代表平行于2和平行于3所有截面上的正应力和剪应力。
10、阴影区表示不与任何主应力平行的斜截面上的正应力和剪应力。,图2.5,图2.6,如在已知应力状态上叠加一个静水压力，则使三向应力圆产生沿轴的平移,对圆本身的大小、形状并无影响，因此，坐标原点O在轴上的位置的移动，也相当于叠加上一个静水压力，故对塑性变形不产生影响。因此。在轴上取OM=m，并将轴移至过M点处，则在以M为原点的 坐标系中，此三维应力圆即为应力偏张量的应力圆。此时有,三维应力圆以及应力偏张量的应力圆由P1、P2 ，P3三点的相对位置唯一确定。所以有必要引入一个参数来表示它们之间的相对位置。 取B圆（P1P3为直径）的圆心O1，则 用O1P2与O1P1之比表示应力状态的特征，则 称为应力状态的Lode参数。,（238）,几种特殊应力状态的特征参数： （1）单向拉伸： =1。 （2）纯剪切： =0。 （3）单向压缩： =1。,
