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1、第 1页，共10页 开始 结束 输出 S n1, S0 S 100 nn + 1 SS + 2n N Y (第 5 题) 南通市高考全真模拟试卷(6) 第卷（必做题，共160 分） 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 1. 设集合 A = 1 ， x ，B = 2 ，3，4 ，若 A B =4 ，则 x = . 2. 若复数 z1 2+i，z1 z25，则 z2 . 3. 从数 6，7，8， 9，10， 11 六个数中，任取两个不同的数， 则两个数互质的概率是. 4已知一组数据x1，x2， x100的方差是2，则数据 3x1， 3x2，3x100 的标准差为. 5执行右
2、边的程序框图，则输出的S的值为 . 6设正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是单位正方形，其表面积14，则 AA1 . 7不等式组 yx+2 yx 0y4 x0 表示的平面区域的面积为S，则 S的值为 8函数 ysin(x 4)( 0)的图象在 0,1上恰有三个最高点，则 的取值范围是 . 9若两个非零向量a，b 的夹角为60 ，且 (a2b)(a2b)，则向量ab 与 ab 的夹角的余弦值是 . 10已知函数f(x)e x-1tx， x 0 R，f(x0) 0，则实数t 的取值范围 11已知数列 an是一个等差数列，首项a10，公差 d0，且 a2、a5、a9依次成比数列，则
3、使 a1a2 an 100a1的最小正整数 k 的值是 . 12抛物线 y22px(p0)和双曲线 x2 a2 y2 b2 1(a0，b0)有一个相同的焦点F2(2，0)，而双曲线的另一 个焦点 F1， 抛物线和双曲线交于点 B、 C， 若 BCF1是直角三角形， 则双曲线的离心率是 13 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别为a、 b、c，若 a 2cosA b 3cosB c 6cosC，则 cosAcosBcosC 14已知函数f(x) 2x3+7x2+6x x2+4x3 ， x 0,4 ，则 f(x)最大值是 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分. 15（本小题满分14 分）已
4、知 (0， )，且 sin( 3) 62 4 (1)求 sin( 4)的值； (2)求 cos(2 3)的值 第 2页，共10页 A A1 B1 C D1 B C1 D M O1 16 （本小题满分14 分）如图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD 是菱形， M 是 AB 的中点， O1是 A1C1与 B1D1的交点 (1)求证： O1M平面 BB1C1C； (2)若平面 AA1C1C平面 ABCD，求证：四边形BB1D1D 是矩形 17.（本小题满分14 分）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3(N)、 2(N)的 重物现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m(N)的重
5、物，恰好使系统处于平衡状态 (1)若 AOB120 ，求 m 的值； (2)求 m 的取值范围 18. 椭圆 C：x 2 4 y 2 3 1 的左、右顶点分别为A、B，F 为椭圆 C 的右焦点，在椭圆C 上任取异于A、 B 的点 P，直线 PA、PB 分别与直线x=3 交于点 M， N，直线 MB 与椭圆 C 交于点 Q (1)求 FM FN 的值； (2)证明： A、Q、N 三点共线 19.（本小题满分16 分）已知数列 n a满足 1 23 nn aan， nN （1）若数列 n a为等差数列，求 1 a； （2）设 1 (0)aa a，2nnN，不等式 22 1 1 3 nn nn aa
6、 aa 成立，求实数a的最小值 A B O 3N m(N) 2N 第 3页，共10页 20.（本小题满分16 分）已知二次函数f(x)=ax2bx 1， g(x)=a2x2bx 1 (1)若 f(x)g(x)对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若函数 f(x)有两个不同零点x1， x2；函数 g(x)有两个不同零点x3，x4 (i)若 x3x1x4，试比较x2，x3，x4的大小关系； (ii) 若 x1=x3x2，m、n、p 1 (,)x， ()( )() ( )()() fmfnfp g ng pg m ，求证 m=n=p 第卷（附加题，共40 分） 21 选做题 本题包括
7、A 、B、C、D四小题，每小题10 分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A （选修：几何证明选讲）如图， AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧 AC 的 中点， DEAB 于 E，AC 与 DE 交于 M，求证： AM DM B （选修：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 属于特征值3 的一个特征向量为a 1 1 ，并 且矩阵 M 对应的变换将点（1，2）变成点（ 9，15） ，求出矩阵M. C （选修：坐标系与参数方程）已知圆 C 的极坐标方程是4cos，以极点为平面 直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 2 2 2 2 xtm yt （
8、t 是参数） .若直线l与圆 C 相切，求实数m 的值 . D （选修：不等式选讲）设函数( )|1|1|f xxx， 若不等式| 2| |( )ababaf x对任意,a bR且0a恒成立，求实数x 的范围 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22 ( 本小题满分10 分)如图，在四棱锥OABCD 中，底面ABCD 是边长为 1 的菱形， ABC45 ，OA底面 ABCD ，OA2， M 为 OA 的中点 （ 1）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小； （ 2）求平面OAB 与平面 OCD 所
9、成锐二面角的余弦值 A E B C D M M D O A BC 第 4页，共10页 23设 a0a1a2 an(iN *，i1，2， n)，以 b，c表示正整数 b，c 的最小公倍数 求证： 1 a0， a1 1 a1， a2 1 an1，an1 1 2n 参考答案 一、填空题 1 1,2,3,6 21i3. 3914. 185 2 9 6充分不必要748 7 6 910 10 已知函数( )sin(2) 3 f xx（0 x） ，且 1 ()() 3 ff（） ，则 107 6 由0 x ， 知2 333 x， 因为 3 1 ( )() 32 ff， 所以 3 222 332 ， 所以 7
10、 6 + = 11 (1， 2 f(f (x) x22x，x0， 2x2，0 x1， x42x2，x 1 作出函数f(f (x)的图像可知，当1k2 时，函数 yf(f (x) k 有 3 个不同的零点 12 12由2ABACAO uuu ruuu ruu u r 可得 OBOC uu u ruuu r 0 ，即 BOOC uu u ruuu r ，所以圆心在 BC上，且ABAC 注意到 | | =2ABAO u uu ru uu r ，所以 ,4,2 3 36 BCBCAC ，所以12CA CB u uu ru uu r 13 21 2 由()a abcbc ，得 1 bcbc aaaa ，
11、设, bc xy aa ，则1xyxy ， 1a bcxy ，因为 2 1() 2 xy xyxy，所以22 2xy，所以 a bc 的最大值为 21 2 14 设a为实数，记函数f(x)axax3（x1 2，1）的图象为 C如果任何斜率不小于 1的直线与 C都至 多有 一个公共点，则a 的取值范围是 14 1 ,4 2 由任何斜率不小于1的直线与 C都至多有一个公共点，也即x1 2，1时，曲线 ( )yf x 上 任意两点连线的斜率都小于1，所以( )1fx在 x 1 2，1上恒成立由 2 ( )31fxaax， 第 5页，共10页 即 2 310axa，设( )31g tata， 1 ,1
12、 4 t，只需 1 ()0 4 g，且(1)0g，所以 1 4 2 a 二、解答题 15解：（1）由正弦定理知，bsinAasinB2， 又 acosB1， ，两式平方相加，得(asinB)2(acosB)23， 因为 sin2Bcos2B1， 所以 a3（负值已舍） ； （2）由（ 1）中，两式相除，得 sinB cosB 2，即 tanB2， 因为 AB 4， 所以 tanAtan(B 4) tanBtan 4 1tanBtan 4 12 12 322 （ 14 分） 16证：（1）方法 1：取线段PD 的中点 M，连结 FM 、AM. 因为 F 为 PC 的中点，所以FM CD，且 FM
13、 1 2CD. 因为四边形ABCD 为矩形， E 为 AB 的中点， 所以 EACD，且 EA 1 2CD. 所以 FM EA，且 FMEA. 所以四边形AEFM 为平行四边形所以EFAM. 又 AM? 平面 PAD， EF?平面 PAD， 所以 EF平面 PAD. 方法 2：连结 CE 并延长交DA 的延长线于N，连结 PN. 因为四边形ABCD 为矩形，所以ADBC， 所以 BCE ANE， CBE NAE. 又 AE EB，所以 CEB NEA. 所以 CENE. 又 F 为 PC 的中点，所以EFNP. 又 NP? 平面 PAD，EF?平面 PAD， 所以 EF平面 PAD. 方法 3
14、：取 CD 的中点 Q，连结 FQ、EQ. 在矩形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， 所以 AEDQ，且 AE DQ. 所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以 EQAD. 又 AD? 平面 PAD，EQ?平面 PAD， 所以 EQ平面 PAD.(2 分) 因为 Q、F 分别为 CD、 CP 的中点， 所以 FQ PD. 又 PD? 平面 PAD，FQ?平面 PAD，所以 FQ平面 PAD. 又 FQ、EQ? 平面 EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面 PAD.(5 分) 因为 EF? 平面 EQF ，所以 EF平面 PAD. (2) 设 AC、 DE 相交于 G. 在矩形 ABCD
15、中，因为 AB2BC， 第 6页，共10页 E 为 AB 的中点，所以 DA AE CD DA 2. 又 DAE CDA，所以 DAE CDA， 所以 ADE DCA. 又 ADE CDE ADC90 ， 所以 DCA CDE90 . 由 DGC 的内角和为180 ，得 DGC90 . 即 DEAC. 因为点 P 在平面 ABCD 内的正投影O 在直线 AC 上，所以PO平面 ABCD. 因为 DE ? 平面 ABCD，所以 PODE. 因为 POACO，PO、AC? 平面 PAC， 所以 DE 平面 PAC， 又 DE? 平面 PDE ，所以平面PAC平面 PDE . 17解：（1）设 n
16、* ()nN年内所建安置房面积之和首次不低于3 000 万 m2， 依题意，每年新建安置房面积是以200 为首项， 50 为公差的等差数列， 从而 n 年内所建安置房面积之和为 (1) 20050 2 n n nm2， 则 (1) 20050 2 n n n 3 000，整理得， 2 71200nn， 解得8 (15)nn舍去. 答： 8 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000 万 m2. （2）依题意，每年新建住房面积是以500 为首项， 1.1 为公比的等比数列， 设第 m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则 11 20050(1) 3 () 500 (10.1)101.1 mm m m p m， 由()(1)p mp m得， 1 34 101.1101.1 mm mm ，解得7m. 答：第 7 年和第 8 年，所建安置房面积占当年新建住房面
