《北师大版三角形的证明(全章节复习题).》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版三角形的证明(全章节复习题).（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABA
2、C，ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)BC； (3)BDCD，AD为底边上的中线.(4)ADBADC90，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三
3、角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”2
4、.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质
5、定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠
6、释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题1、如图，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130，求2的度数.举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度数类型二、等腰三角形中的分类讨论2、在等腰三角形中，有一个角为40，
7、求其余各角3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC8，且|ACBC|2，那么腰AC的长为( ) A10或6 B10 C6 D8或6类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，在ABC中，边ABAC求证：ACBABC举一反三：【变式】已知：如图，在ABC中，AB=AC，A=60，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD求证：DB=DE5、已知：如图，ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，求证：ABC是等腰三角形举一反三【变式1】如图，在ABC中，AB=AC，BAD=CAE，点D、E在BC上，试说明ADE是等腰三角形类型三、 含有3
8、0角的直角三角形6. 如图所示，ABC中，ACB=90，CDAB，垂足是D，A=60.求证：BD=3AD. 举一反三：【变式】如图，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求APB的度数类型四、反证法7. 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。举一反三：【变式】下列选项中，可以用来证明命题“若a21，则a1”是假命题的反例是（） A . a= 2 B . a= 1 C . a=1 D. a=2【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( ) A16 B17 C16或17D10或122. 用反证法证明命题：如果ABCD，ABEF，
9、那么CDEF，证明的第一个步骤是（） A. 假设CDEF ;B. 假设ABEFC. 假设CD和EF不平行D. 假设AB和EF不平行3. 将两个全等的且有一个角为30的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4. 已知实数x，y满足|x4|+(y8)20，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20或16B20 C16D以上答案均不对5. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（ ） A60 B70 C80 D不确定 6. 如图，在ABC中，AB=AC，B
10、D是ABC的平分线，若ADB=93，则A=（）A31B46.5C56D62二.填空题7如图，ABC中，D为AC边上一点，ADBDBC，若A40，则CBD_ 8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30，则顶角的度数为 9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设_.10. 等腰三角形的一个角是70，则它的顶角的度数是 .11.如图，AD是ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出ABC是等腰三角形的是_（把所有正确答案的序号都填写在横线上）BAD=ACD；BAD=CAD；AB+BD=AC+CD；ABBD=ACCD12. 如图，ABC的周长为32，且AB=AC，
11、ADBC于D，ACD的周长为24，那么AD的长为 .三.解答题13已知：如图，ABC中，ABAC，D是AB上一点，延长CA至E，使AEAD试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论14.如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，BECE于点EADCE于点D求证：BECCDA15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角角的平分线的性质（基础）【学习目标】1掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质2掌握角平分线的判定及角平分线的画法3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的
12、平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.要点二、角的平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点
13、到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC的内心为，旁心为，这四个点到ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1如图，ACB90,BD平分ABC交AC于D，DEAB于E，ED的延长线交BC的延长线于F. 求证：AECF.2、如图, ABC中, C 90, AC BC, AD平分CAB, 交BC于D, DEAB于E, 且AB6, 则DEB的周长为( ) A. 4B. 6C.10D. 以上都不对举一反三：【变式】已知：如图，AD是ABC的角平分线，且，则ABD与ACD的面积之比为（ ）A3：2 B C2：3 D.3、如图，OC是AOB的角平分线，P是OC上一点，PDOA交于点D，
