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1、会作两个变量的散点图，会利用散点图认识两个变量间的相关关系/了解最小二乘法的思想，能建立线性回归方程/了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用/了解回归的基本思想、方法及初步应用,第3课时 线性回归方程,1通过收集现实问题中两个有关联变量的数据并作出散点图，直观认识变量间 的相关关系，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程能利用列联表进行独立性检验 2高考在考查这一部分内容时一般以应用题的形式出现，并且体现统计知识的 综合应用而线性回归和独立性检验都要对数据进行统计和分析，因此，这一部分知识在考查时一般都会以图表的形式出现，以现实生活中的例子为背景，对某些实际问题进行理性的分析,【命
2、题预测】,3高考一般在这一部分尽量减小运算难度，主要在对图表的认识和分析上出 题题目以填空题的形式为主，属于小题中的中等难度的题目，主要考查考生对图表及实际问题的分析能力，体现学以致用的数学价值，增强考生对学习数学的兴趣,1对相关关系的理解要注意以下几点：(1)不能把相关关系等同于函数关系；(2) 相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系；(3)如何判断相关关系，统计学发挥着重要作用，由于变量之间的相关关系带有不确定性，就需要收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，然后才能作出科学的判断；(4)相关关系是进行回归分析的基础,【应试对策】,2若要考查变量a(随机变量)与b(非随机变量)的
3、相关性，则b为因变量，a为自变 量，画散点图时，自变量在x轴上，因变量在y轴上统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱： (1)|r|1，相关程度大；(2)|r|1，相关程度大；(3)|r|0，相关程度小,对于回归分析的步骤可以记忆为：分析建方程，预报看结果，误差看效果相关分析是用相关系数来表示两个变量间相互的直线关系，并判断其密切程度的统计方法相关系数没有单位，在11范围内变动，其绝对值愈接近1，两个变量间的相关愈密切，其绝对值愈接近0，两个变量间的相关愈不密切相关系数若为正，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；若为负，表示一变量增加、另一变量减少，即方向相反，但它不能表达直
4、线以外(如各种曲线)的关系,3独立性检验是数理统计的一种方法，是数学中的一种基本理论，是数学体系 中对数据关系进行探索的一种基本思想当然，对数据的统计分析得出的结论只能是在一定程度上对某种关系进行判断，而不是一种确定性的关系，这也是统计思想与确定性思维的差异所在独立性检验在实际中也有着广泛的应用，是对实际生活中的数据进行分析的一种方法，通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用,相关系数的性质： (1)|r|1. (2)当|r|越接近于1时，相关程度越大特殊地，r1时，n个点在同一直线上，当 |r|越接近于0时，相关程度越小 (3)|r|的大小反映了x与y之间的线性关系的强弱，
5、相关系数|r|至少大到什么程度才 可以认为x和y的线性关系是显著的呢？这就需要进行显著性检验，即相关性检验,【知识拓展】,一般地，由公式计算出样本的相关系数r查表得到相应的临界值ra，比较|r|与ra的大小若|r|ra，就认为x与y线性相关显著；若|r|ra，就认为在显著水平a下，x与y线性相关不显著,1相关关系 (1)相关关系：相关关系：是指变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来 表达 (2)线性相关关系：能用直线方程 bxa近似表示的相关关系，叫做线 性 探究：相关关系与函数关系有什么异同点？,相关关系,提示：相同点：两者均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是
6、一种非确定的关系，事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系 函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系,2线性回归方程 一般地，设有n对观察数据如下：,当a，b使Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2取得最小值时，就 称方程 bxa为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直当a，b使 Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2取得最小值时，就称方程 bxa为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称 为 线性回归方程 bxa中的系数a，b可以用下面的公式计算,回归直线,3相关系数 (1
7、)相关系数 (2)性质：|r|1.|r|越接近于1，x，y的线性相关程度越强 |r|越接近于0，x，y的线性相关程度越弱,1下列两个变量之间的关系是相关关系的是_(填序号) 正方体的棱长与体积；单位面积产量为常数时，土地面积与产量；日照时间与水稻的亩产量；电压一定时，电流与电阻 解析：中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系，中的两个变量是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量 答案：,2已知回归方程为 0.50 x0.81，则x25时， 的估计值为_ 解析：把x25代入 0.50 x0.81，得 11.69. 答案：11.69,3(盐城市调研)某单位为了了解用电量y度与气
8、温x之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 由表中数据得线性回归方程 bxa中b2，预测当气温为4时，用电量的度数约为_,解析：根据题意得， 10， 40， 所以a b 40(2)1060，所以，当x4时， bxa 2(4)6068. 答案：68,判断变量间有无相关关系，一种常用的简便可行的方法就是绘制散点图散点图就是利用散点(坐标点)的分布形态反映变量统计关系的一种图形，其特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势，能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系,【例1】 5名学生的化学和生物成绩(单位：
9、分)如下表. 画出散点图，并判断它们是否有相关关系,思路点拨：涉及两个变量：化学成绩与生物成绩，可以以化学成绩为自变量，考察因变量生物成绩的变化趋势 解：以x轴表示化学成绩，y轴表示生物成绩，可得相应的散点图如图所示由散点图可见，两者之间具有相关关系,变式1：在某地区的1230岁居民中随机抽取了10个人的身高和体重的统计资料如表： 根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关 系,解：以x轴表示身高，y轴表示体重，可得到相应的散点图如图所示： 由散点图可知，两者之间具有相关关系,回归直线方程在现实生活与生产中有着广泛的应用应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把
10、“无序”变为“有序”，并对实际情况进行估测、补充因此，学过回归直线方程以后，应增强应用回归直线方程解决相关实际问题的意识,【例2】 一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有问题，每 小时生产有问题物件的多少随机器运转的速度而变化，下表即为其试验结果. (1)求出两变量间的回归直线方程； (2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10，那么，机器的速度不得 超过每秒多少转？,思路点拨：先把题中的量用回归分析的专用术语改写，再用回归分析的一般步 骤解题 解：(1)用x来表示机器的运转速度，y表示每小时生产有问题的物件数，那么4个 样本数据为： (x1，y1)(8,5)，(x2，
11、y2)(12,8)，(x3，y3)(14,9)，(x4，y4)(16,11)， 则 12.5， 8.25，所以，回归直线的斜率为b 0.728 6，,a b 0.857 5，所以，回归直线方程 0.728 6x0.857 5. (2)由 0.728 6x0.857 510，得x14.901 8，所以，机器的速度不能超过 14.901 8 rad/s.,变式2：高三(一)班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位： 分)之间有如下数据：x：24,15,23,19,16,11,20,16,17,13； y： 92,79,97,89,64,47,83,68,71,59. 某同学每周
12、用于数学学习的时间为18 h，试预测该生的数学成绩 解：利用计算器求得b3.53，a13.48，因此，可求得回归直线方程为 3.53x13.48. 当x18时， 3.531813.4877，故该同学预计可得77分左右.,1线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系例如正方形面积S与边长x之间的关系Sx2就是函数关系相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系例如商品的销售额与广告费是相关关系两个变量具有相关关系是回归分析的前提 2求回归直线方程，关键在于正确求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计
13、算而产生错误(注意回归直线方程中一次项系数为b，常数项为a，这与一次函数的习惯表示不同) 3判断两个变量是否具有线性相关时，可以从散点图判断，也可以求出相关系数r进行判断.,【规律方法总结】,【例3】(本小题满分14分)炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接 影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系如果 已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕 到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：,(1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？ (2)求回归方程； (3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？ 规范解答：(1)可作散点图
14、如图所示： 由图可知它们呈线性相关关系. . 6分,(2) 159.8， 172， 8分 b 1.267. a b 1721.267159.830.47. 1.267x30.47. . 10分 (3)把x160代入得y172.25(分钟)， 预测当钢水含碳量为160时，应冶炼172.25分钟 .14分,1观察两相关变量得如下数据： x：1，2，3，4，5, 5, 3, 4, 2, 1； y：9，7，5，3，1, 1, 5, 3, 7, 9. 求两变量间的回归方程 分析：按照求回归方程的方法，先设方程为bxa，再确定b，a的值 求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a，b，由于求a，b的计算 量
15、较大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算产生失误,解：xiyi：9,14,15,12,5,5,15,12,14,9， 0， 0， b 1， a b 0b00， 故所求回归直线方程为 x.,2在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：,(1)根据上述表格完成列联表： (2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？,分析：先完成列联表，再根据列联表分别算出午休的考生的及格率和不午休的考生的及格率，对比两个及格率，就可得出合理的结论 解：(1)根据表中数据可以得到列联表如下：,(2)计算可知，午休的考生及格率为P1 ，不午休的考生的及格率为P2 ，则P1P2，因此，可以粗略判断午休对考生考试及格有关系，并 且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的 学习状态,点击此处进入 作业手册,
