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1、 高考数学备忘录（七）数列【知识要点】（一）等差数列：1等差数列的判断方法：定义法或。2等差数列的通项：或。3等差数列的前和：，。如4等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。(二)等差数列的性质：1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.2若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3当时,则有，特别地，当时，则有.4.若Sn是等差数列an的前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列5. 若Sn是等差数列an的前n项和，则S2n1(2n1)an；Sn是等差数列an的前n项和，Tn是等差
2、数列bn的前n项和,则；（三）等比数列的有关概念：1等比数列的判断方法：定义法，其中或。2等比数列的通项：或。3等比数列的前和：当时，；当时，。特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。4等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。5.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有. (2)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若
3、，则为常数列.（3）若Sn是等比数列an的前n项和，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列（q1）（四）数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知（即）求，用作差法：。（3）若求用累加法. 已知求，用累乘法.（4）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，若化简后为形式，则可化为，从而新数列是等比数列，用等比数列求解的通项公式，再反过来求原来那个。（其中是用待定系数法来求得）；如：已知，求（答：）形如的递推数列都可以用倒数法求通项；形式，同除以，构造倒数为等差数列；如：已知，求（答：）；（五）数列求和的常用方法：1公式法：等差数列求和公式；等比数列求和
4、公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：，135(2n1)n2；.2分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减3. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.4.并项求和法：一个数列的前n项和可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型如：数列(1)n(2n1)的前2 017项和S2 017等于_(答：2 015)5倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项
5、和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）. 如设f(x)，若Sf()f()f()，则S（答：）6通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。如求和： （答：）7裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；()； （六）数学归纳法证题的步骤(归纳奠基)证明当n取第一个值nn0(n0N*)时，命题成立；(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1.时，命题也成立只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于
6、任何nn0的正整数都成立【易错提醒】1.判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件应用等比数列前n项和公式时应首先讨论公式q是否等于12. 用求数列的通项公式时，易忽略公式anSnSn1成立的条件是n23.错位相减法求和时,易漏掉减数式的最后一项,结论中形如an，an1的式子应进行合并4在应用裂项相消法时，裂项相消法求和时注意所裂式与原式的等价性,注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项，特别是隔项相消【高考热点预测】(1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式(2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和【过关题】1. 已知等差数列an中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足：a2a345，a1a414.(1)求数列an的通项公式；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn若bn也是等差数列，求非零常数c；(3)对于(2)中得到的数列bn，求f(n)(nN*)的最大值（答： (1) an4n3(2) c （3）f(n)的最大值为）4
