《【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第5节《指数函数》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【福建】高考数学复习方略：第2章《函数、导数及其应用》第5节《指数函数》（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 指数函数,1.根式 (1)根式的概念与性质,xn=a,正,负,零,两,相反数,负数,(2)两个重要公式 _(a必须使 有意义),【即时应用】 (1)若x4=16,则x的值为_. (2)化简下列各式结果分别为 =_; =_; =_; =_; =_; =_. 【解析】(1)x= =2 答案：(1)2,(2)-4 4 a-2 -3,2.有理指数幂 (1)分数指数幂的含义 正分数指数幂： =_(a0,m、nN*,且n1); 负分数指数幂： = = (a0,m、nN*,且n1). 0的正分数指数幂等于_,0的负分数指数幂_.,_,_,没有意义,0,(2)有理数指数幂的运算性质 aras= _(a
2、0,r、sQ)； (ar)s= _(a0,r、sQ)； (ab)r= _(a0,b0,rQ). 上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用.,ar+s,ars,arbr,【即时应用】 (1)判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确(请在括号中填 “”或“”) - = ( ) =- ( ) (x、y0) ( ) (x0) ( ) (2)化简 (x0,y0)得_. (3)化简 的结果是_.,【解析】(2) =2x2|y|=-2x2y. (3)原式 答案：(1) (2)-2x2y (3)a4,3.指数函数的概念 (1)解析式为：_. (2)自变量是：_. (3)定义域是：_.,y=ax(a0,
3、且a1),x,R,【即时应用】 (1)判断下列函数是否为指数函数(请在括号中填写“是”或 “否”): y=32x ( ) y= ( ) y=ax ( ) y=(2a-1)x(a 且a1) ( ) (2)若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则实数a的值为_.,【解析】(1)根据指数函数y=ax(a0且a1)的定义知 均不是指数函数，是指数函数. (2)由已知 ,解得：a=2. 答案：(1)否 否 否 是 (2)2,4.指数函数的图象与性质,R,(0,+),(0,1),y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,【即时应用】 (1)如图是指数函数y=ax;y=bx；y=cx;y=dx的图象
4、,则a、b、c、d与1的大小关系是_.,(2)函数f(x)=3-x-1的定义域、值域分别是_. (3)设y1=40.9,y2=80.48,y3=( )-1.5,则y1,y2,y3的大小关系为_. (4)函数f(x)=ax(a0,a1)在1,2中的最大值比最小值 大 ，则a的值为_. (5)函数y=ax-2 012+2 012(a0,且a1)的图象恒过定点_.,【解析】(1)在图中画出直线x=1,分别与交于A、B、C、D四点,是A(1,a),B(1,b),C(1,c),D(1,d),由图象可知cd1ab.,(2)f(x)=( )x-1,定义域为R， ( )x-1-1,故值域为(-1,+). (3
5、)y1=40.9=21.8,y2=80.48=(23)0.48=21.44,y3=21.5,函数y=2x是增 函数,又1.81.51.44, y1y3y2.,(4)当01时，有a2-a1= ，解得：a= . (5)y=ax(a0且a1)恒过定点(0,1), y=ax-2 012+2 012恒过定点(2 012,2 013).,答案：(1)ba1dc (2)R、(-1,+) (3)y1y3y2 (4) 或 (5)(2 012,2 013),热点考向 1 幂的运算 【方法点睛】 幂的运算的一般规律及要求 (1)分数指数幂不表示相同因式的乘积,而是根式的另一种写法,分数指数幂与根式可以相互转化.,(
6、2)分数指数幂不能随心所欲地约分,例如要将 写成 等必 须认真考查a的取值才能决定,例如 而 无意义. (3)在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式， 并化小数指数幂为分数指数幂,并尽可能地统一成分数指数幂 形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算,以利于运算, 达到化繁为简的目的.,【例1】计算下列各式的值. (1) (2)(2012泉州模拟) (a0,b0). 【解题指南】先将根式化为分数指数幂,底数为小数的化成分 数,负分数指数化为正分数指数；然后根据幂的运算性质进行 计算.,【规范解答】 (1)原式 (2)原式 =,【反思感悟】指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的,
7、无括号先做指数运算,先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成假分数,若是根式,应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示,运用指数运算性质.,【变式训练】计算下列各式的值： (1)(2012厦门模拟) (2),【解析】(1)原式= =16-4+0=12. (2) = = =a0b0=1.,热点考向 2 指数函数图象的应用 【方法点睛】 利用指数函数图象求解指数型函数性质问题的方法 (1)对由指数函数构成的一些函数其图象性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的处理往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数
8、形结合,使问题得解.,(2)指数型方程、不等式的图象解法： 一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解. 【提醒】在利用指数函数图象解决问题时，图象形状、趋势及经过的特殊点要准确，否则数形结合易产生误解.,【例2】已知f(x)=|2x-1| (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(x+1)与f(x)的大小； (3)试确定函数g(x)=f(x)-x2零点的个数. 【解题指南】(1)作出f(x)的图象,数形结合求解. (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x+1)图象，数形结合求 解. (3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y=x2的图象,数形结合求解.,【
9、规范解答】(1)由f(x)=|2x-1|= . 可作出函数的图象如图.因此函数f(x)在(-,0)上递减；函数 f(x)在(0,+)上递增.,(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x+1)的图象，如图所示.,由图象知,当 时,解得x0= 两图象相交,从图象可见,当x 时,f(x)f(x+1)； 当x= 时,f(x)=f(x+1); 当x 时,f(x)f(x+1).,(3)将g(x)=f(x)-x2的零点转化为函数f(x)与y=x2图象的交点问 题,在同一坐标系中分别作出函数f(x)=|2x-1|和y=x2的图象如 图所示，有四个交点,故g(x)有四个零点.,【反思感悟】对于指数型函数的
10、单调性、最值、零点及指数型方程、不等式能用数形结合求解的尽量用数形结合法求解,但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确,否则很容易失误,如本例(3).,【变式训练】k为何值时,方程|3x-1|=k无解？有一解？有两解？,【解析】函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.,当k0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程无解；当k=0或k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解； 当0k1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同交点,所以方程有
11、两解.,【变式备选】若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0,a1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围.,【解析】分底数01两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：,从图中可以看出，只有当0a1，且02a1， 即0a 时，两函数才有两个交点. 所以0a .,热点考向 3 指数函数性质的应用 【方法点睛】 利用指数函数的性质可求解的问题及方法 (1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. (2)与指数函数有关的指数型函数定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可.,【例3】(1)函数y= 的定义域是_.
12、 (2)函数f(x)= 的单调递减区间为_,值域为_. (3)(2012漳州模拟)已知函数f(x)= (xR). 用定义证明：不论a为何实数f(x)在(-,+)上为增函数; 若f(x)为奇函数，求a的值; 在的条件下，求f(x)在区间1，5上的最小值.,【解题指南】根据待求的指数型函数的结构特征,选择恰当的求函数定义域、值域(最值)、单调区间、奇偶性的方法求解.,【规范解答】(1)由题意知 0, 32x-13-3,2x-1-3, x-1,即定义域是-1,+). 答案：-1,+),(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上单调递 增,在(-2,+)上单调
13、递减,而y=( )t在R上为单调递减,所以 f(x)在(-,-2)上单调递减. 又g(x)=-(x+2)2+77,f(x)( )7=3-7. 答案：(-,-2) 3-7,+),(3)f(x)的定义域为R,任取x1x2,且x1R,x2R, 则f(x1)-f(x2)= = x1x2， 0, 0. f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). 所以不论a为何实数f(x)在(-,+)上总为增函数.,f(x)在R上为奇函数, f(0)=0, 即a- =0. 解得a= .,由知，f(x)= 由知，f(x)为增函数, f(x)在区间1,5上的最小值为f(1). f(1)= - = , f(x)在区间1
14、,5上的最小值为 .,【互动探究】若将本例(2)中函数f(x)变为f(x)= 且其最大值为3,求a的值. 【解析】令h(x)=ax2-4x+3,y=( )h(x),由于f(x)有最大值3, y=( )t为R上的减函数,所以h(x)应有最小值-1,因此必有 ,解得a=1, 即当f(x)有最大值3时,解得a=1.,【反思感悟】在求解与指数函数有关的函数的性质问题时,要根据解析式的结构特征,根据待求问题,选择适当的方法求解,但对复合函数一定要注意其定义域.,【变式备选】已知函数f(x)= (1)若f(x)=2,求x的值； (2)若2tf(2t)+mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取 值范围.
15、,【解析】(1)当x0时，f(x)=0; 当x0时，f(x)= 由条件可知， =2,即22x-22x-1=0， 解得2x=1 2x0,x=log2(1+ ).,(2)当t1,2时， 即m(22t-1)-(24t-1). 22t-10,m-(22t+1). t1,2,-(1+22t)-17,-5, 故m的取值范围是-5,+).,1.(2013泉州模拟)若点(a,9)在函数y=3x的图象上, 则tan 的值为( ) (A)0 (B) (C)1 (D) 【解析】选D.因为点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以3a=9,a=2, 所以tan = .,2.(2013三明模拟)设函数f(x)= , 则满足f(x)2的x的取值范围是( ) (A)-1,2 (B)0,2 (C)1,+) (D)0,+) 【解析】选D.若x1,则 21-x2,解得0 x1;若x1, 则1-log2x2,解得x1,综上,x0.故选D.,3.(2013福州模拟)已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.10.6,则a,b,c的大小关系是( ) (A)
