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1、九年级数学圆的证明与计算试题汇编 1. （ . 元月调考）在边长为的正方形ABCD中，以 AD为直径的 O ，以 C为圆心， CD长为 半径作，两圆交于正方形内一点E，连 CE并延长交 AB于 F. （1）求证 CF与 O相切； （2）求 BCF和直角梯形ADCF 的周长之比 O E F D C AB 2. （今元月调考） ：. 如图 D为 Rt ABC斜边 AB上一点，以CD为直径的圆分别交 ABC三 边于 E,F,G 三点，连接FE,FG. （1）求证 EFG= B; (2) 若 AC=2BC=45,D 为 AE的中点，求CD的长。 3 （今元月调考） 如图， AB 为半圆的直径， B 是
2、 AB 弧的中点， C 为 AD 弧上的点， 弦 BC、 AD 相交于 E，弦 AC 、BD 的延长线相交于点F，求证 DE=DF 。 F E D C BA 4.（今元月调考）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在O 中，OM 弦 AB 于点 M， ON弦 CD 于点 N，若OM= ON ，则 AB =CD （1请帮小辩证明这个结论; （2）运用以上结论解决问题：在 RtABC 中，ABC 90， O 为 ABC 的内心， 以 O 为圆心， OB 为半径的 O 与 ABC 三边分别相交于点D、E、F、 G，若 AD=9,CF=2 ，, 求 ABC 的周长 5 （ .年四月调考）如
3、图，已知ABC ，以边 BC 为直径的圆与边AB 交于点 D，点 E 为BD 的中点， AF 为 ABC 的角平分线，且AFEC （1）求证 AC 与 0 相切； （2）若 AC=6， BC=8，求 EC 的长 6. （今年四月调考）如图，AE是ABC外接圆O的直径， AD是ABC的边BC上的高，EFBC，F为垂足 . （1）求证： BFCD； （2）若1CD，3AD，6BD，求圆O的直径 . D o C E F B A 7. （今年四月调考）如图，等腰ABC内接于O，CABA，弦 CD 平分ACB，交 AB于点H，过点B作AD的平行线分别交AC，DC于点E，F。 (1) 求证：BFCF； (
4、2) 若1DHBH，求FH的值。 8（今年四月调考）如图， AB ，CD ，分别与O相切于点E，F，G ，且 AB/ CD ，OB与 EF相交于点 M ，OC与 FG相交于点 A，连接 MN （1）求证： OB OC ； (2) 若 OB=6 ，OC=8 ，求 MN的长. N M G F E C O B A D 9、 （ .五月调考）如图，已知在ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的 O 与边 BC 交于点 D， 与边 AC 交于点 E，过点 D 作 DF AC 于 F. （1）求证： DF 为 O 的切线； （2）若 DE= 2 5 ，AB= 2 5 ，求 AE 的长 . 、 （1）证
5、明：连 结 AD，OD AB 为 O 的直径 ADB=90 即 ADBC 又 AB=AC BD=DC 又 OA=OB ODAC 又 DF AC DFOD DF 为 O 的切线 (2)连结 BE 交 OD 于 G AC=AB,ADBC EAD=BAD = ED=BD,OE=OB OD 垂直平分EB EG=BG 又 AO=BO OG= 2 1 AE 在 RtDGB 和 RtOGB 中 2222 OGBODGBD A B C D E F O (第 22 题图 ) EDBD A B C D E F O G 2 22 2 4 5 4 5 2 5 OGOG 解得 :OG= 4 3 AE=2OG= 2 3
6、10 （今五月调考）如图，ABC 内接于 O，AB 是 O 的直径， CD 平分 ACB 交O 于 点 D，交 AB 于点 F，弦 AECD 于点 H，连接 CE、OH （1）求证： ACE CFB； （2）若 AC6，BC4，求 OH 的长 F H E D O A B C 22 （1）证明： AB 是 O 的直径， ACB90 CD 平分 ACB， ACD FCB 45 AECD， CAE45 FCB 在ACE 与 BCF 中， CAE FCB ， EB， ACECFB （2）解：延长 AE、CB 交于点 M FCB45， CHM 90， M45 CAE HAHCHM ，CM CA6 CB4
7、 ， BM2 OAOB， OH 2 1 BM1 M F H E D O AB C E C O A B D O F E D C BA 11 （今五月调考）如图，四边形ABCD 内接于 O，AB 为 O 的直径， C 为 BD 弧的中点， AC、BD 交于点 E （1）求证： CBE CAB； （2）若 SCBESCAB14，求 sinABD 的值 22 （1）证明：点C 为弧 BD 的中点，DBC BAC， 在 CBE 与 CAB 中； DBC BAC， BCE ACB， CBE CAB 4 分 （ 2） 解：连接 OC 交 BD 于 F 点，则 OC 垂直平分BD SCBE： SCAB1:4，
8、 CBE CAB AC：BC BC：EC2:1，AC4EC AE：EC 3：1 AB 为 O 的直径，ADB90 ADOC，则 AD：FCAE：EC3:1 设 FCa，则 AD3a， F 为 BD 的中点， O 为 AB 的中点， OF 是 ABD 的中位线，则OF 1 2 AD1.5a， OCOF +FC 1.5a+a2.5a，则 AB2OC 5a， 在 RtABD 中， sin ABD AD AB 3a3 = 5a5 8 分 （本题方法众多，方法不唯一，请酌情给分） 12 （今五月调考）如图，AB 为 O 的直径， AM 和 BN 是它的两条切线，E 为 O 的半圆 弧上一动点（不与A、B
9、 重合） ，过点 E 的直线分别交射线AM、BN 于 D 、C 两点，且CB CE （1）求证： CD 为O 的切线； （2）若 tanBAC 2 2 ，求 AH CH 的值 H C D O A B E M N （1）证明：连接OE1 分 OBOE， OBE OEB BCEC， CBE CEB2 分 OBC OEC BC 为 O 的切线， OEC OBC90，3 分 OE 为半径， CD 为 O 的切线4 分 （2）延长 BE 交 AM 于点 G，连接 AE，过点 D 作 DTBC 于点 T 因为 DA、 DC、CB 为 O 的切 线， DADE，CBCE 在 RtABC 中，因为tanBAC
10、 2 2 ，令 AB 2x，则 BC2 x CEBC2 x5 分 令 ADDEa， 则在 RtDTC 中， CTCBAD2 xa，DCCEDE2 xa， DTAB2x， DT 2DC2CT2， (2x)2(2 xa)2(2 xa)26 分 解之得， x2 a7 分 AB 为直径， AEG90 ADED， ADEDDGa AG2a8 分 因为 AD、 BC 为 O 的切线， AB 为直径， AGBC 所以 AHG CHB AH CH AG CB 2a 2 x 9 分 AH CH 110 分 13 （. 中考） 如图，RtABC中，90ABC，以AB为直径作O交AC边于点D，E是边BC 的中点，连
11、接DE （1）求证：直线 DE是O 的切线； （2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值 证明： （1）连接ODOEBD、 AB是O的直径，90CDBADB， E点是BC的中点，DECEBE ODOBOEOEODEOBE， 90ODEOBE ，直线DE是O的切线 （2）作OH AC 于点H， 由（ 1）知，BDAC，ECEB OAOBOEAC，且 1 2 OEAC CDFOEF， DCFEOF CFOF，DCFEOF，DCOEAD 45BABCA， OHADOHAHDH， 1 3tan 3 OH CHOHACO CH ， C E B A O F D C E B A O F D
12、H C E A B O P 14. （今中考）如图，点 O 在APB的平分在线，圆O 与 P A 相切于 点 C； (1) 求证：直线 PB 与圆 O 相切； (2) PO 的延长线与圆 O 交于点 E。若圆 O 的半径为 3，PC=4。 求弦 CE 的长。 (1) 证明：过点 O 作 OD PB 于点 D，连接 OC。PA 切圆 O 于点 C， OC PA。又点 O 在APB的平分线上， OC=OD。PB 与圆 O 相切。 (2) 解：过点 C 作 CF OP 于点 F。在 RtPCO 中，PC=4，OC=3， OP=5， 22 PCOC=5，OC PC=OP CF=2SPCO， CF= 5
13、 12 。 在 RtCOF 中， OF= 22 CFOC= 5 9 。 EF=EO OF= 5 24 ， CE= 22 CFEF= 5 512 。 15. （今中考）如图，PA为 O的切线， A为切点，过A作 OP的垂线 AB ，垂足为点C,交 O于点 B,延长 BO与 O交于点 D，与 PA的延长线交于点E,(1) 求证： PB为 O的切线；（ 2） 若 tan ABE= 2 1 , 求 sin E. （1）证明：连接OA,PA为 O的切线，PAO=90 OA=OB,OP AB于 C,BC=CA,PB=PA PAO PBO PBO= PAO=90 PB为 O的切线 (2)解法 1：连接 AD
14、,BD为直径， BAD=90 由（ 1）知 BCO=90 AD/OP, ADE POE EP EA = OP AD , 由 AD/OC 得 AD=2OC tan ABE= 2 1 , BC OC = 2 1 设 OC=t, 则 BC=2t,AD=2t, 由 PBC BOC 得 PC=2BC=4 ， =， EP EA = OP AD = 5 2 . 可设 =， =，则=，= =， sin E EP PB A B C O E P A B C O E P F D 16 （今武汉）在锐角三角形ABC 中， BC=4 ，sinA=， （1）如图 1，求三角形ABC 外接圆的直径； （2）如图 2，点 I
15、 为三角形 ABC 的内心， BA=BC ，求 AI 的长 来源 学。科。网 Z。X。X 。K 考点： 三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形。 解答： （1）解：作直径CD，连接 BD ， CD 是直径， DBC=90 ， A= D， BC=4 ，sin A=， sinD=， CD=5 ，答：三角形ABC 外接圆的直径是5 （2）解：连接ICBI，且延长BI 交 AC 于 F，过 I 作 IEAB 于 E， AB=BC=4 ， I 为 ABC 内心， BFAC ，AF=CF ， sinA=， BF=， 在 RtABF 中，由勾股定理得：AF=CF=， AC=2AF=， I 是 ABC 内心， IEAB，IF AC，IG BC， IE=IF=IG ， 设 IE=IF=IG=R ， ABI 、 ACI 、 BCI 的面积之和等于ABC 的面积， AB R+BC R+AC R=AC BF， 即 4 R+4 R+ R=， R=， 在 AIF 中， AF=，IF=，由勾股定理得：AI=答： AI 的长是
