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1、圆锥曲线的性质与结论 一、选择题(共12小题;共60分)1. 双曲线 4x2y2=1 的一条渐近线的方程为 A. 2x+y=0B. 2x+y=1C. x+2y=0D. x+2y=1 2. 若坐标原点到抛物线 x2=1my 的准线距离为 2,则 m= A. 18B. 18C. 8D. 8 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x225+y29=1 的左、右焦点分别是 F1,F2,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1PF2,则 PF1F2 的面积为 A. 6B. 10C. 9D. 7 4. 已知双曲线 x2a2y2b2=1 的一条渐近线的方程为 x2y=0,则该双曲线的离心率为 A. 5B
2、. 52C. 3D. 2 5. 直线 y=kxk+1 与椭圆 x225+y26=1 的位置关系为 A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定 6. 过点 0,4 作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,这样的直线有 A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条 7. 已知直线 l1:4x3y+6=0 和直线 l2:x=1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 来源:Zxxk.ComA. 355B. 2C. 115D. 3 8. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2y2=6 的右支交于两个不同的点,则 k 的范围是 A. 153,153
3、B. 153,1C. 153,0D. 0,153 9. 已知 F1,F2 分别是双曲线 x2a2y2b2=1 的左、 右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且 PF12PF2=8a,则双曲线离心率的取值范围是 A. 1,3B. 3,+C. 1,2D. 2,+ 10. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A若 AF=3,则点 A 的坐标为 A. 2,22B. 2,22C. 2,22D. 1,2 11. 椭圆 C 的焦点在 x 轴上,一个顶点是抛物线 E:y2=16x 的焦点,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2,则椭圆的离心率为 A. 12B. 144C. 22D. 32 12. 已
4、知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 eP 是椭圆上一点,满足 PF2F1F2,点 Q 在线段 PF1 上,且 F1Q=2QP若 F1PF2Q=0,则 e2= A. 21B. 22C. 23D. 52 二、填空题(共5小题;共25分)13. 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 和圆 O:x2+y2=b2,若椭圆 C 上存在点 P,使得过点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、 B,满足 APB=60,则椭圆的离心率的取值范围是 14. 已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 x2y23=1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为
5、 K,点 A 在抛物线上,且 AK=2AF,则 AFK 的面积为 15. 已知双曲线 x24y2b2=1b0,以原点为圆心,双曲线的实半轴为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为 16. 抛物线 y2=2pxp0 的焦点为 F,点 A,B 在抛物线上,且 AFB=120,过弦 AB 中点 M 作准线 l 的垂线,垂足为 M1,则 MM1AB 的最大值为 来源:学科网17. 已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,C 的准线和对称轴交于点 M,点 P 是 C 上一点,且满足 PM=PF,当 取最大值时,点 P 恰好在以 M
6、,F 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为 三、解答题(共5小题;共65分)18. 已知抛物线的顶点为椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的中心椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,且它们的准线互相平行又抛物线与椭圆交于点 M23,263,求抛物线与椭圆的方程 19. 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点坐标为 0,1,其离心率为 63(1)求椭圆的标准方程;来源:Z.xx.k.Com(2)椭圆上一点 P 满足 F1PF2=60,其中 F1,F2 为椭圆的左右焦点,求 F1PF2 的面积 20. (1)若抛物线的焦点是椭圆 x264+y216=1 左顶点,求此抛物线的标准方程;(2)若
7、某双曲线与椭圆 x264+y216=1 共焦点,且以 y=3x 为渐近线,求此双曲线的标准方程 21. 已知 F1,F2 分别为椭圆 C1:y2a2+x2b2=1ab0 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 C2:x2=4y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 MF1=53(1)求椭圆的方程;(2)已知点 P1,3 和圆 O:x2+y2=b2,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A,B,在线段 AB 取一点 Q,满足:AP=PB,AQ=QB0且1,探究是否存在一条直线使得点 Q 总在该直线上,若存在求出该直线的方程 22. 设点 F1,F2 是平面上左、右
8、两个不同的定点,F1F2=2m,动点 P 满足:PF1PF21+cosF1PF2=6m2(1)求证:动点 P 的轨迹 为椭圆;(2)抛物线 C 满足:顶点在椭圆 的中心;焦点与椭圆 的右焦点重合设抛物线 C 与椭圆 的一个交点为 A问:是否存在正实数 m,使得 AF1F2 的边长为连续自然数?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由答案第一部分1. A2. B3. C4. B5. A6. C【解析】当直线的斜率不存在,即过点 0,4 的直线方程为 x=0 时符合题意;当直线的斜率为 0 时,此时直线方程为 y=4 与抛物线仅有一个公共点;过点 0,4 可以做一条直线与抛物线相切;所以满足题意
9、的直线有 3 条7. B【解析】设抛物线上的一点 P 的坐标为 a2,2a ,则 P 到直线 l2:x=1 的距离 d2=a2+1; P 到直线 l1:4x3y+6=0 的距离 d1=4a26a+65 则 d1+d2=a2+1+4a26a+65=9a26a+115 当 a=13 时,P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2 .8. B【解析】提示:注意 =0 和与渐近线平行两个极端情况9. A【解析】设 PF1=m,PF2=n,根据双曲线定义可知 PF1PF2=2a,PF12=8aPF2,所以 mn=2a,m2=8an,所以 mnm2=2a8an,所以 m24mn+4n2=0,
10、所以 m=2n,所以 n=2a,m=4a,在 PF1F2 中,F1F2PF1+PF2,所以 2c4a+2a,所以 ca1,所以 1e310. C11. D12. C第二部分13. 32,1【解析】提示:在四边形 OAPB 中,APB=60,OAP=OBP=90,OA=OB=b,OP=2b,由题意得,2ba,即 2a2c2a,化简得 ca32,在椭圆中 e1,所以 32e0,则将 M23,263 代入方程可得 83=2p23,所以 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x,来源:学科网因为椭圆的离心率是抛物线离心率的一半,所以 e=ca=12,因为 49a2+83b2=1,a2=b2+c2,所以
11、a=2,b=3,所以椭圆方程为:x24+y23=119. (1) 设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1ab0,椭圆的一个顶点为 0,1,则 b=1,因为 ca=63,所以 a21a2=23,解得 a2=3椭圆的标准方程为 x23+y2=1(2) 设 PF1=n,PF2=m,F1PF2=60, 4c2=m2+n22mncos60=m+n23mn=4a23mn,得 mn=43, SF1PF2=124332=3320. (1) 椭圆 x264+y216=1 左顶点为 8,0,设抛物线的方程为 y2=2pxp0,可得 p2=8,解得 p=16,则抛物线的标准方程为 y2=32x(2) 椭圆 x2
12、64+y216=1 的焦点为 43,0,43,0,可设双曲线的方程为 x2a2y2b2=1a,b0,则 a2+b2=48,由渐近线方程 y=bax,可得 ba=3,解得 a=23,b=6,则双曲线的方程为 x212y236=121. (1) 由 C2:x2=4y 知 F10,1,设 Mx0,y0x00,因 M 在抛物线 C2 上,故 x02=4y0, 又 MF1=53,则 y0+1=53, 由 解得 x0=263,y0=23,椭圆 C1 的两个焦点 F10,1,F20,1,点 M 在椭圆上,由椭圆定义可得 2a=MF1+MF2=53+26302+23+12=4,所以 a=2,又 c=1,所以 b2=a2c2=3,椭圆 C1 的方程为:y24+x23=1(2) 设 Ax1,y1,Bx2,y2,Qx,y,由 AP=PB 可得:1x1,3y1=x21,y23,即 x1x2=1,y1y2=31. 由 AQ=QB 可得:xx1,yy1=x2x,y2y,即 x1+x2=1+x,y1+y2=1+y. 来源:Zxxk.Com 得:x122x22=12x, 得:y122y22=3y12,两式相加得 x12+y122x22+y22=12x+3y,又点 A,B 在圆 x2+y2=3 上,且 1,