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1、圆锥曲线的性质与结论 一、选择题（共12小题；共60分）1. 双曲线 4x2y2=1 的一条渐近线的方程为 A. 2x+y=0B. 2x+y=1C. x+2y=0D. x+2y=1 2. 若坐标原点到抛物线 x2=1my 的准线距离为 2，则 m= A. 18B. 18C. 8D. 8 3. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x225+y29=1 的左、右焦点分别是 F1，F2，P 为椭圆 C 上的一点，且 PF1PF2，则 PF1F2 的面积为 A. 6B. 10C. 9D. 7 4. 已知双曲线 x2a2y2b2=1 的一条渐近线的方程为 x2y=0，则该双曲线的离心率为 A. 5B
2、. 52C. 3D. 2 5. 直线 y=kxk+1 与椭圆 x225+y26=1 的位置关系为 A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定 6. 过点 0,4 作直线，使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点，这样的直线有 A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条 7. 已知直线 l1：4x3y+6=0 和直线 l2：x=1，抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 来源:Zxxk.ComA. 355B. 2C. 115D. 3 8. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2y2=6 的右支交于两个不同的点，则 k 的范围是 A. 153,153
3、B. 153,1C. 153,0D. 0,153 9. 已知 F1，F2 分别是双曲线 x2a2y2b2=1 的左、 右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点且 PF12PF2=8a，则双曲线离心率的取值范围是 A. 1,3B. 3,+C. 1,2D. 2,+ 10. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A若 AF=3，则点 A 的坐标为 A. 2,22B. 2,22C. 2,22D. 1,2 11. 椭圆 C 的焦点在 x 轴上，一个顶点是抛物线 E:y2=16x 的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，则椭圆的离心率为 A. 12B. 144C. 22D. 32 12. 已
4、知椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 eP 是椭圆上一点，满足 PF2F1F2，点 Q 在线段 PF1 上，且 F1Q=2QP若 F1PF2Q=0，则 e2= A. 21B. 22C. 23D. 52 二、填空题（共5小题；共25分）13. 设椭圆 C:x2a2+y2b2=1ab0 和圆 O:x2+y2=b2，若椭圆 C 上存在点 P，使得过点 P 引圆 O 的两条切线，切点分别为 A 、 B，满足 APB=60，则椭圆的离心率的取值范围是 14. 已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 x2y23=1 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为
5、 K，点 A 在抛物线上，且 AK=2AF，则 AFK 的面积为 15. 已知双曲线 x24y2b2=1b0，以原点为圆心，双曲线的实半轴为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为 16. 抛物线 y2=2pxp0 的焦点为 F，点 A，B 在抛物线上，且 AFB=120，过弦 AB 中点 M 作准线 l 的垂线，垂足为 M1，则 MM1AB 的最大值为 来源:学科网17. 已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F，C 的准线和对称轴交于点 M，点 P 是 C 上一点，且满足 PM=PF，当 取最大值时，点 P 恰好在以 M
6、，F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 三、解答题（共5小题；共65分）18. 已知抛物线的顶点为椭圆 x2a2+y2b2=1ab0 的中心椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行又抛物线与椭圆交于点 M23,263，求抛物线与椭圆的方程 19. 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点坐标为 0,1，其离心率为 63（1）求椭圆的标准方程；来源:Z.xx.k.Com（2）椭圆上一点 P 满足 F1PF2=60，其中 F1，F2 为椭圆的左右焦点，求 F1PF2 的面积 20. （1）若抛物线的焦点是椭圆 x264+y216=1 左顶点，求此抛物线的标准方程；（2）若
7、某双曲线与椭圆 x264+y216=1 共焦点，且以 y=3x 为渐近线，求此双曲线的标准方程 21. 已知 F1，F2 分别为椭圆 C1:y2a2+x2b2=1ab0 的上、下焦点，其中 F1 也是抛物线 C2:x2=4y 的焦点，点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点，且 MF1=53（1）求椭圆的方程；（2）已知点 P1,3 和圆 O:x2+y2=b2，过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A，B，在线段 AB 取一点 Q，满足：AP=PB，AQ=QB0且1，探究是否存在一条直线使得点 Q 总在该直线上，若存在求出该直线的方程 22. 设点 F1，F2 是平面上左、右
8、两个不同的定点，F1F2=2m，动点 P 满足：PF1PF21+cosF1PF2=6m2（1）求证：动点 P 的轨迹 为椭圆；（2）抛物线 C 满足：顶点在椭圆 的中心；焦点与椭圆 的右焦点重合设抛物线 C 与椭圆 的一个交点为 A问：是否存在正实数 m，使得 AF1F2 的边长为连续自然数?若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由答案第一部分1. A2. B3. C4. B5. A6. C【解析】当直线的斜率不存在，即过点 0,4 的直线方程为 x=0 时符合题意；当直线的斜率为 0 时，此时直线方程为 y=4 与抛物线仅有一个公共点；过点 0,4 可以做一条直线与抛物线相切；所以满足题意
9、的直线有 3 条7. B【解析】设抛物线上的一点 P 的坐标为 a2,2a ，则 P 到直线 l2：x=1 的距离 d2=a2+1； P 到直线 l1：4x3y+6=0 的距离 d1=4a26a+65 则 d1+d2=a2+1+4a26a+65=9a26a+115 当 a=13 时，P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2 .8. B【解析】提示：注意 =0 和与渐近线平行两个极端情况9. A【解析】设 PF1=m，PF2=n，根据双曲线定义可知 PF1PF2=2a，PF12=8aPF2，所以 mn=2a，m2=8an，所以 mnm2=2a8an，所以 m24mn+4n2=0，
10、所以 m=2n，所以 n=2a，m=4a，在 PF1F2 中，F1F2PF1+PF2，所以 2c4a+2a，所以 ca1，所以 1e310. C11. D12. C第二部分13. 32,1【解析】提示：在四边形 OAPB 中，APB=60，OAP=OBP=90，OA=OB=b，OP=2b，由题意得，2ba，即 2a2c2a，化简得 ca32，在椭圆中 e1，所以 32e0，则将 M23,263 代入方程可得 83=2p23，所以 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x，来源:学科网因为椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，所以 e=ca=12，因为 49a2+83b2=1，a2=b2+c2，所以
11、a=2，b=3，所以椭圆方程为：x24+y23=119. （1） 设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1ab0，椭圆的一个顶点为 0,1，则 b=1，因为 ca=63，所以 a21a2=23，解得 a2=3椭圆的标准方程为 x23+y2=1（2） 设 PF1=n，PF2=m，F1PF2=60， 4c2=m2+n22mncos60=m+n23mn=4a23mn，得 mn=43， SF1PF2=124332=3320. （1） 椭圆 x264+y216=1 左顶点为 8,0，设抛物线的方程为 y2=2pxp0，可得 p2=8，解得 p=16，则抛物线的标准方程为 y2=32x（2） 椭圆 x2
12、64+y216=1 的焦点为 43,0，43,0，可设双曲线的方程为 x2a2y2b2=1a,b0，则 a2+b2=48，由渐近线方程 y=bax，可得 ba=3，解得 a=23，b=6，则双曲线的方程为 x212y236=121. （1） 由 C2:x2=4y 知 F10,1，设 Mx0,y0x00，因 M 在抛物线 C2 上，故 x02=4y0, 又 MF1=53，则 y0+1=53, 由 解得 x0=263，y0=23，椭圆 C1 的两个焦点 F10,1，F20,1，点 M 在椭圆上，由椭圆定义可得 2a=MF1+MF2=53+26302+23+12=4，所以 a=2，又 c=1，所以 b2=a2c2=3，椭圆 C1 的方程为：y24+x23=1（2） 设 Ax1,y1，Bx2,y2，Qx,y，由 AP=PB 可得：1x1,3y1=x21,y23，即 x1x2=1,y1y2=31. 由 AQ=QB 可得：xx1,yy1=x2x,y2y，即 x1+x2=1+x,y1+y2=1+y. 来源:Zxxk.Com 得：x122x22=12x， 得：y122y22=3y12，两式相加得 x12+y122x22+y22=12x+3y，又点 A，B 在圆 x2+y2=3 上，且 1，
