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1、4.立体几何自主学习 1、如图，在三棱柱中，分别是的中点. （）证明: 平面；（）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角的余弦值.解：（）证明:取的中点为,连接.分别为的中点，且为的中点. 为平行四边形，.平面,平面，.（）解:设的中点为，连接，为等边三角形 ， 侧面都是正方形 ，且， .取中点为,连接，则.以为原点，以、分别为、轴建立空间直角坐标系，如图.设,则，.设平面的法向量为，则令，得，取平面的法向量为.则，故所求二面角的余弦值为.2.如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，.（1）求证：；（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的正弦值.解：（1）在直三棱柱中，平
2、面,，又，且，平面，平面，又平面，.（2）以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，直线的方向向量，平面的法向量，可知，设平面的一个法向量，取，设平面的一个法向量，取，记二面角的平面角为，3.如图，多面体为正三棱柱沿平面切除部分所得，M为的中点，且.（1）若D中点，求证平面；（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）取中点N，连接MN，则MN为的中位线，, ，又MN=AD,， 。(2) 由可得二面角平面角，来源:Z#xx#k.Com由二面角大小为可得，如图建立空间直角坐标系，则，, 设平面的法向量为来源:学*科*网，所以，来源:Zxxk.Com所以
3、直线与平面所成角的正弦值为.4.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，为侧棱（包含端点）上的动点.（1）当时，求证：平面；（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.解：（1）连结AC交BD于O，连结OE；由题意，；因为，所以所以因为平面ADE，平面BDE所以平面BDE（2）过A作于F，则在中，；以A为原点，分别以、的方向为x轴、y轴和z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设则，；，；设向量为平面CDE的一个法向量，则由且，有，令，得；记直线BE与平面CDE所成的角为，则，此时，； 设向量为平面BDE的一个法向量，则由且，有，令，得； 所以二面角的余弦值为来源:Zxxk.Com
4、4.立体几何自主学习名校回顾（二）1.四棱锥中，底面为菱形，,为等边三角形（1）求证： ;（2）若，求二面角余弦值.解：（1）证明：取中点，连结，为菱形， 为等边三角形 为等边三角形 (2) 为等边三角形，边长为2 如图，以，为，轴建立空间直角坐标系则 设平面的法向量为，则, 取，则 设平面法向量为,取，则设二面角的平面角为，则二面角的余弦值等于0 2.如图，四面体中，是的中点，和均为等边三角形， （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值解析：（1）证明：连结为等边三角形，为的中点，和为等边三角形，为的中点，在中，,，即，平面 （2）以O为原点，OB，OC，OA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面ACD法向量为 由，可得，令，可得 又直线与平面所成角的正弦值为3.如图，已知，平面平面，为中点.（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的余弦值.解析：（）证明：设中点为，连为中点，来源:Zxxk.Com又由题意， ，且四边形为平等四边形， ，又平面平面，平面平面，平面，平面.又平面，又，平面，平面，平面.（）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，设平面的法向量，则取， 设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的余弦值.4.如图，在四棱锥中，,，为等边三角形，且平面平面,为中点（I ）求证：平面；（II）求二面角的正弦值
