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1、4.立体几何自主学习 1、如图,在三棱柱中,分别是的中点. ()证明: 平面;()若这个三棱柱的底面是等边三角形,侧面都是正方形,求二面角的余弦值.解:()证明:取的中点为,连接.分别为的中点,且为的中点. 为平行四边形,.平面,平面,.()解:设的中点为,连接,为等边三角形 , 侧面都是正方形 ,且, .取中点为,连接,则.以为原点,以、分别为、轴建立空间直角坐标系,如图.设,则,.设平面的法向量为,则令,得,取平面的法向量为.则,故所求二面角的余弦值为.2.如图,在直三棱柱中,分别为,的中点,.(1)求证:;(2)若直线和平面所成角的正弦值等于,求二面角的正弦值.解:(1)在直三棱柱中,平
2、面,,又,且,平面,平面,又平面,.(2)以点为坐标原点,分别以,为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系.设,则,直线的方向向量,平面的法向量,可知,设平面的一个法向量,取,设平面的一个法向量,取,记二面角的平面角为,3.如图,多面体为正三棱柱沿平面切除部分所得,M为的中点,且.(1)若D中点,求证平面;(2)若二面角大小为,求直线与平面所成角的正弦值.解:(1)取中点N,连接MN,则MN为的中位线,, ,又MN=AD,, 。(2) 由可得二面角平面角,来源:Z#xx#k.Com由二面角大小为可得,如图建立空间直角坐标系,则,, 设平面的法向量为来源:学*科*网,所以,来源:Zxxk.Com所以
3、直线与平面所成角的正弦值为.4.如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,为侧棱(包含端点)上的动点.(1)当时,求证:平面;(2)当直线与平面所成角的正弦值为时,求二面角的余弦值.解:(1)连结AC交BD于O,连结OE;由题意,;因为,所以所以因为平面ADE,平面BDE所以平面BDE(2)过A作于F,则在中,;以A为原点,分别以、的方向为x轴、y轴和z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,设则,;,;设向量为平面CDE的一个法向量,则由且,有,令,得;记直线BE与平面CDE所成的角为,则,此时,; 设向量为平面BDE的一个法向量,则由且,有,令,得; 所以二面角的余弦值为来源:Zxxk.Com
4、4.立体几何自主学习名校回顾(二)1.四棱锥中,底面为菱形,,为等边三角形(1)求证: ;(2)若,求二面角余弦值.解:(1)证明:取中点,连结,为菱形, 为等边三角形 为等边三角形 (2) 为等边三角形,边长为2 如图,以,为,轴建立空间直角坐标系则 设平面的法向量为,则, 取,则 设平面法向量为,取,则设二面角的平面角为,则二面角的余弦值等于0 2.如图,四面体中,是的中点,和均为等边三角形, (1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值解析:(1)证明:连结为等边三角形,为的中点,和为等边三角形,为的中点,在中,,,即,平面 (2)以O为原点,OB,OC,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则 , 设平面ACD法向量为 由,可得,令,可得 又直线与平面所成角的正弦值为3.如图,已知,平面平面,为中点.()证明:平面;()求直线与平面所成角的余弦值.解析:()证明:设中点为,连为中点,来源:Zxxk.Com又由题意, ,且四边形为平等四边形, ,又平面平面,平面平面,平面,平面.又平面,又,平面,平面,平面.()以点为原点,以方向为轴,以方向为轴,以方向为轴,建立如图所示坐标系,设平面的法向量,则取, 设直线与平面所成角为,则,即直线与平面所成角的余弦值.4.如图,在四棱锥中,,,为等边三角形,且平面平面,为中点(I )求证:平面;(II)求二面角的正弦值