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1、第二课时: y=x2+k的图象和性质学习目标,第二部分 二次函数的图象和性质,教材第9页,1、能作出y=ax2和y=ax2+k的图象，并能够比较它们与y=x2的异同，理解a与k对二次函数图象的影响.,2、说出y=ax2和y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.以及他们之间的联系.,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方（除顶点外）,在x轴的下方（除顶点外）,向上,向下,当x=0时，最小值为0。,当x=0时，最大值为0。,二次函数y=ax2的性质,、顶点坐标与对称轴,、位置与开口方向,、增减性与极值,演示,(a0),(a0),y =x2 +1,y =x2 -1,例2.在同一坐
2、标系中画出函数y =x2 +1与y =x2 -1的图象.,y=x2-1,y =x2 +1,y =x2 +1,抛物线y=x2+1的开口向上，,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,1),抛物线y=x2-1的开口向上，,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-1),抛物线y=x2+1由抛物线y=x2 向上平移一个单位得到.,抛物线y=x2+1由抛物线y=x2 向上平移一个单位得到.,解：列表,y=2x2,2,1.5,1,0.5,0,-0.5,-1,-1.5,-2,x,2,2,4.5,4.5,8,8,0,0.5,0.5,画出函数y=2x2的图象,做一做,x,y,o,y=x2,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,
3、2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y,o,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,函数y=2x2+1的图象是什么形状? 它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?它与y=2x2的图象有什么相同和不同?,议一议,做一做,y,o,y=2x2,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,x,y=2x2+1,5,y=2x2+1,y=2x2,x,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,2,1,3,4,5,8,9,-1,-2,o,6,7,y,-3,10,y = 2x 2,y = 2x 2 -1,y,x,1,2
4、,3,4,-1,-2,-3,-4,2,1,3,4,5,8,9,-1,-2,o,6,7,-3,10,y = 2x 2,y = 2x 2 -2,x,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,2,1,3,4,5,8,9,-1,-2,o,6,7,y,-3,10,y = 2x 2,y = 2x 2 -3,0.25.,0.5.,0.75.,1.,y,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2,想一想,你知道 函数 y=3x2-1的大 致图象和位 置吗?,0.25.,-0.25.,-0. 5.,-0.75.,-1.,y=3x2-1,二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2 的图象向下平移一
5、个单位得到,二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象有什么关系？,二次函数y= ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象 当k 0 时 向上平移k个单位得到. 当k 0 时 向下平移-k个单位得到.,函数,y=ax2+k,y=ax2,开口方向,a0时,向上,a0时,向下,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0,0）,（0,k）,a0时,向上,a0时,向下,上正下负,二次函数没有一次项,则抛物线对称轴是y轴,抛物线对称轴是y轴,则二次函数没有一次项,向上,y轴,( 0 , 5 ),y轴,y轴,向下,向下,( 0 , -2 ),( 0 , 3 ),2. y = -2x 2 +5 的图象可由抛物线 y
6、 = -2x 2 经过 得到的. 它的对称轴是 , 顶点坐标是 ,在x0时.y值随x的增大而 ； 与x轴有 交点。,沿Y轴向上平移5个单位,Y轴,（0，5）,增大,无,巩固练习2： （1）抛物线y = x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线 y = x 2向 平移 个单位得到的；,上,X=0,（0，3）,上,3,（2）已知（如图）抛物线y = ax 2+k的图象，则a 0，k 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ，则a = ,k = ； 函数关系式是y = 。,1/2,-2,1/2x 2-2,1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 _ 移 个单位.
7、 2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为 . 3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（- m,n ） _（在，不在）y=ax2+a的图象上. 4. 若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则 K_,下,1,y=-3x2-2,在,0.5,例题:,1.抛物线y=-3x2+5的开口向_,对称轴是_,顶点坐标是_,顶点是最_点,所以函数有最_值是_. 2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是_,与x轴的交点坐标是_. 3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_. 4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_平移_个单位得到的.
8、5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_.,下,Y轴,(0,5),高,大,5,(0,-1),(-1/2,0)或(1/2,0),y=x2+3,下,3,- 4,6.求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2); (2)与y= x2的开口大小相同,方向相反; (3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.,7.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,求m,n 的值.,1. 一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（ ）,思维与拓展,y,x,0,x,0,x,0,x,x,y,y,y,B.,A.,C.,D
9、.,B,2. 函数y=ax2+a与y= （a0)在同一坐标系中 的大致图象是（ ）,思维与拓展,y,A.,C.,D.,D.,某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.,试一试,x,y,A,B,O,C,解:设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4,根据题意有A(-0.8,0),B(0.8,0),将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得 0=0.64a+2.4,a=_,涵洞所在抛物线的函数解析式为y=_ x2+2.4,3.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB位置时,水面宽4 米
10、,水位上升3米达到警戒线MN位置时 ,水面宽4 米,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求 水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?,解:以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系, 设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c.,则B点坐标为(2 ,0), N点坐标为(2 ,3),故0=24a+c,3=12a+c,解得a= - ,c=6,即y= - x2+6.,其顶点为(0,6),(6-3)0.25=12小时.,二次函数y=ax2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2 +k(a0),y=ax2 +k(
11、a0),（0，k）,（0，k）,y轴,y轴,当c0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,当c0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).,向上,向下,当x=0时,最小值为k,当x=0时,最大值为k,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=ax+k与=ax的关系,(1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)增减性相同.,3.联系: y=ax+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象沿y轴整体平移|k|个单位得到的.(当k0时向上平移;当k0时,向下平移).,驶向胜利的彼岸,回味无穷,1.相同点:,2.不同点:,(1)顶点不同:分别是(0,k),(0,0). (2)最值不同:分别是k和0.,
