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1、第四节 重积分的应用,一、重积分的几何应用 *二、重积分的物理应用 三、利用对称性化简重积分 四、小结,几何应用和物理应用,求平面区域面积 求空间区域体积 求曲面的面积,求物体质量 求物体质心 求转动惯量 求引力,一、重积分的几何应用,1、平面区域面积：, 为D 的面积, 则,解：,解:,2、空间区域体积：,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为：,占有空间有界闭区域 的立体的体积为：,例3. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积. (P148-例6),解: 设,由对称性可知,例4. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.（P163-例4）,解: 在球坐标系
2、下空间立体所占区域为,则立体体积为,(1)设曲面的方程为：,如图，,3、曲面的面积:,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,(3)设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,(2)设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,例5. 计算半径为 a 的球的表面积.,解:,设球面方程为,球面面积元素为,方法2： 利用直角坐标方程.,（方法1 ）利用球坐标方程.,见P167-例1,例6. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .,见P168-例2,*二、重积分的物理应用,1、平面薄片的质心,当薄片是均匀的，质心称为形心.,由元素法,解,2、平面薄片的转动惯量,薄片
3、对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,解,解,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,3、平面薄片对质点的引力,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,三、利用对称性化简重积分（补充内容）,1、利用对称性化简二重积分：（偶倍奇零）,f(x,y)关于y 的奇偶性可类似定义，则有以下重要结论：,(1) 若D 关于 x=0(y 轴)对称(如图),则,(2) 若D 关于y=0 (x 轴)对称(如图),则,(3) 若D 关于y=0 (x 轴)和x=0(y轴)对称(如图),且f(x,y)关于x和y均为偶函数，则,解：,(4) 若D 关于原点对称(如图),则,(5) 若D 关于直线y= x 对称(如图)
4、,则,(6) 若D 关于直线y= x 对称(如上图),且f(x,y)关于 x 和 y 都对称（即f(x,y)= f(y, x) ），则,2、利用对称性化简三重积分：,f(x,y,z)关于x和y 的奇偶性可类似定义，有以下 重要结论：,(1) 若关于z=0 (xoy平面 )对称，则,例. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,相应地， 若关于yoz平面 (zox平面 )对称，f(x,y,z)关于x（或y）有奇偶性，可得相应结论。,(2) 若关于三个坐标面 对称，且f(x,y,z)关于x,y,z均 为偶函数，则,例. 设,计算,内容小结,1、几何应用：平面区域面积、空间区域体积、 曲面的面积,2、计算要简便,充分利用对称性,应用换元公式,* 说明:,三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:,对应雅可比行列式为,
