《高等数学2(第5章-多元函数积分学的应用-肖萍).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学2(第5章-多元函数积分学的应用-肖萍).ppt（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 5 章,多元函数积分学的应用,第 5 章 多元函数积分学的应用,0 点函数积分,定义1. 设为有界闭区域, 函数u=f (P)(P)为上的有界点函数. 将几何体任意分成n个子闭区域1, 2, , n , 其中i表 示第i个子闭区域, 也表示它的度量. 在i上任取一点 Pi, 作乘积 f (Pi) i ,并作和 如果当各子闭区域i的直径中的 最大值趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限 为点函数f (P)在上的积分, 记为 即,其中称为积分区域, f (P) 称为被积函数, P称为积分变量, f (P)d,注1.点函数积分的物理意义: 设一物体占有有界闭区域, 其密度为,=f (P),
2、 该物体的质量为,称为被积表达式, d称为度量微元.,注2. 特别地, 当 f (P) = 1时, 有,第 5 章 多元函数积分学的应用,第 5 章 多元函数积分学的应用,注3. 点函数积分可分成以下六类：,1. 若=a,bR, f (P) = f (x), xa,b, 则,这是 f (x)在a,b上的定积分. 当f (x)=1时, 是区间长.,2. 若=LR2, 且L是一平面曲线, f (P) = f (x, y), (x, y)L, 则,这是 f (x, y)在平面曲线L上的第,一类曲线积分. 当f (x)=1时, 是平面曲线L的弧长.,第 5 章 多元函数积分学的应用,3. 若=R3,
3、且是一空间曲线, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z), 则,这是 f (x, y, z)在空间曲线上的第一,类曲线积分. 当f (x , y, z)=1时, 是空间曲线 的弧长.,4. 若=DR2, 且D是一平面区域, f (P) = f (x, y), (x, y)D, 则,这是 f (x, y)在平面区域D上的,二重积分. 当f (x , y)=1时, 是平面区域D的面积.,第 5 章 多元函数积分学的应用,5. 若=R3, 且是一空间曲面, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z), 则,这是 f (x, y, z)在空间曲面上的第一,类曲面
4、积分. 当f (x, y, z)=1时, 是空间曲面的面积.,6. 若R3, 且是一空间区域, f (P) = f (x, y, z), (x, y, z), 则,这是 f (x, y, z)在空间区域上的,三重积分. 当f (x, y , z)=1时, 是空间区域的体积.,第 5 章 多元函数积分学的应用,注4. 点函数积分具有以下八条性质：,设 f (P), g(P)在有界闭区域上都可积, 则有,性质1,性质2,线性性,区域可加性,第 5 章 多元函数积分学的应用,推论1. 若 f (P) g(P), P, 则,保号性,推论2.,估值性质,第 5 章 多元函数积分学的应用,积分中值定理,性
5、质8 (对称性质),1. (1) 对于二重积分和第一类平面曲线积分有: 若f (P)C(),关于x(y)轴对称, 1为被x(y)轴切割的一半区域, 则,第 5 章 多元函数积分学的应用,第 5 章 多元函数积分学的应用,2. (1) 对于二重积分和第一类平面曲线积分有: 若f (P)C(), 关,于原点对称, 1为被过原点的任一条直线切割的一半区域, 则,(2) 对于三重积分, 第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:,若 f (P) C(), 关于原点对称, 1为被过原点,的任一平面切割的一半区域, 则,第 5 章 多元函数积分学的应用,3. (轮换对称性),对于二重积分和第一类平面曲线积分有
6、: 若f (P)C(), ,关于y=x对称, 则,第 5 章 多元函数积分学的应用,(2) 对于三重积分, 第一类空间曲线积分和第一类曲面积分有:,若 f (P) C(), 且x, y, z三个变量在的表示中地位一样, 则,注. 轮换对称性对第二类的线面积分也成立.,第 5 章 多元函数积分学的应用,1 多元函数积分学在几何上的应用,1、平面图形与曲面的面积,占有平面区域D的平面图形的面积为,空间曲面: z=z(x,y)的面积为,第 5 章 多元函数积分学的应用,以 xoy 平面上曲线 L 为准线, 母线平行于 z 轴的柱面被曲面 : z=z(x, y)所截, 位于 与 xoy 坐标面之间的部
7、分的面积为,第 5 章 多元函数积分学的应用,例1. 求由 y = 4 x2, y = 3x, x =1所围成的平面图形的面积S.,D1,D2,第 5 章 多元函数积分学的应用,例2. 求曲线 (x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2)和x2 + y2 a2所围成的平面图 形的面积S.,例3. 求由 y2 = px, y2 = qx, x2 = ay, x2 = by (0 p q, 0 a b)所围成的平面图形的面积S.,解: 令,则,第 5 章 多元函数积分学的应用,例4. 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积S.,解: 由对称性, S=4S1
8、, :,Dxy: x2+y2 ax, y 0.,S=4S1=2( 2)a2,第 5 章 多元函数积分学的应用,例5.求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积S.,解: : z=x2+y2,Dxy: 1 x2+y2 2,第 5 章 多元函数积分学的应用,第 5 章 多元函数积分学的应用,注. 一般地, 由曲线 z= (x)(0 a x b)绕 z 轴旋转一周所 生成的旋转曲面的面积为,其中: D=(x, y)|a2 x2+y2 b2.,转化为极坐标有,例6. 求圆柱面x2+y2=ax(a0)含在球面x2+y2+z2=a2内部的那部分面积S.,解
9、: 由对称性, S=4S1,0 x a,S=4S1=4a2,第 5 章 多元函数积分学的应用,2、立体的体积,第 5 章 多元函数积分学的应用,以平面区域D为底,连续曲面z = f (x,y)为顶的曲顶柱体的体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,例7. 求曲面1: z = x2+y2+1上任一点的切平面与曲面2: z = x2+y2 所围立体的体积 V .,第 5 章 多元函数积分学的应用,例8. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积V.,3、曲线的弧长,第 5 章 多元函数积分学的应用,平面曲线L的弧长为,空间曲线 的弧长为,例9. 求空间曲线: x=3t, y=3
10、t2, z=2t3从点(0, 0, 0) 到点(3, 3, 2)的 一段弧长.,第 5 章 多元函数积分学的应用,内容小结：,利用我们学过的点积分求一些几何形体的度量.,第 5 章 多元函数积分学的应用,2 多元函数积分学在物理上的应用,1、物体的质量,设几何形体的质量分布密度为 (P), P,则 dM= (P)d,故,第 5 章 多元函数积分学的应用,(1)平面薄板D, 质量面密度为(x, y), 则,(2) 空间物体, 质量体密度为 (x, y, z), 则,(3) 曲线状物体 L( ), 质量线密度为 (x, y) ( (x, y, z), 则,(4) 曲面状物体, 质量面密度为 (x,
11、 y, z), 则,第 5 章 多元函数积分学的应用,例1. 设球面x2+y2+z2=2及锥面 围成立体, 其质量 体密度与立体中的点到球心的距离之平方成正比, 且在球面上 等于1. 试求该立体的质量.,第 5 章 多元函数积分学的应用,例2. 一个圆柱面x2+y2=R2介于平面 z=0, z=H之间, 其质量面密度 等于柱面上的点到原点的距离之平方的倒数, 求其质量.,解:,(x, y, z),第 5 章 多元函数积分学的应用,2、质心与形心,由力学知, 该质点系的质心坐标为,设平面有n个质点, 分别位于(xk, yk), 其质量分别为mk (k=1,2,n).,第 5 章 多元函数积分学的
12、应用,由力学知, 该质点系的质心坐标为,设空间有n个质点, 分别位于(xk, yk, zk), 其质量分别为mk (k=1,2,n).,第 5 章 多元函数积分学的应用,设物体占有平面几何形体 ,其质量密度为(x, y)C(), 则质量微元为,对x轴和y轴的静力矩微元为,对x轴和y轴的静力矩为,则的质心为,第 5 章 多元函数积分学的应用,设物体占有空间形体 ,其质量密度为(x, y, z)C(), 则质量微元为,对yoz面, zox 面和xoy面的静力矩微元为,对yoz面, zox 面和xoy面的的静力矩为,第 5 章 多元函数积分学的应用,则的质心为,第 5 章 多元函数积分学的应用,在x
13、oy面上, 面密度为(x, y)的平面薄片D的质心为 , 则,线密度为(x, y)的平面曲线L的质心为 , 则,第 5 章 多元函数积分学的应用,体密度为(x, y, z)的空间立体的质心为 , 则,第 5 章 多元函数积分学的应用,线密度为(x, y, z)的空间曲线的质心为 , 则,第 5 章 多元函数积分学的应用,面密度为(x, y, z)的空间曲面的质心为 , 则,注.质量均匀分布的几何形体的质心称为的形心.,第 5 章 多元函数积分学的应用,例3. 求 r = 2sin 和 r = 4sin 所围均匀薄片 D 的形心.,例4. 在底圆半径为 R, 高为 H 的圆柱体上拼加一个半径为
14、R 的半球体, 要使拼加后的整个立体 的形心位球心处, 求 R 与 H 的关系.,第 5 章 多元函数积分学的应用,3、转动惯量,由力学知, 该质点系对x轴, y轴和原点的转动惯量分别为,设平面有n个质点, 分别位于(xk, yk), 其质量分别为mk (k=1,2,n).,第 5 章 多元函数积分学的应用,由力学知, 该质点系对x轴, y轴, z轴和原点的转动惯量分别为,设空间有n个质点, 分别位于(xk, yk, zk), 其质量分别为mk (k=1,2,n).,第 5 章 多元函数积分学的应用,设物体占有平面几何形体 ,其质量密度为(x, y)C(),则质量 微元为,对x轴, y轴和原点
15、的转动惯量微元为,对x轴, y轴和原点的转动惯量为,第 5 章 多元函数积分学的应用,设物体占有空间形体 ,其质量密度为(x, y, z)C(), 则质量微元为,对x轴, y轴, z轴和原点的转动惯量微元为,第 5 章 多元函数积分学的应用,对x轴, y轴, z轴和原点的转动惯量为,第 5 章 多元函数积分学的应用,例4. 已知均匀矩形板(面密度为常数)的长和宽分别为b和h, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.,例5. 设螺旋形弹簧所对应的方程为x=acost, y=asint, z=bt(0t2), 其线密度为(x, y, z)=x2+y2+z2. 求该螺旋形弹簧对
16、z轴的转动惯量.,第 5 章 多元函数积分学的应用,4、引力,设物体占有xoy面几何形体 ,其质量密度为(x, y)C(), 现 要计算对位于z轴上点M0(0, 0, a) (a0)处质量为m的质点的引力.,d ,(x, y, 0),对点M0处质点的引力微元在三坐标轴上的 投影分别为,其中,第 5 章 多元函数积分学的应用,4、引力,设物体占有xoy面几何形体 ,其质量密度为(x, y)C(), 现 要计算对位于z轴上点M0(0, 0, a) (a0)处质量为m的质点的引力.,对点M0处质点的引力在三坐标轴上的分力 大小分别为,d ,(x, y, 0),所求引力为,第 5 章 多元函数积分学的应用,设物体占有空间形体,其质量密度为(x, y, z)C(), 现 要计算对空间中点M0(x0, y0, z0) 处质量为m的质点
