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1、. . 二次型的几何分类及其应用田金慧容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合
2、谐振子问题的应用。在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的涵形象、直观、清晰地给予展现。关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用1 导言在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，并没有对它的几何意义加以
3、阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献1。2 二次型及其标准型所谓二次型就是一个二次齐次多项式。定义2.1 在数域上，含有个变量的二次齐次函数 （1）称为元二次型，简称二次型【2】。当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型
4、。本文仅讨论实二次型。若取，则于是（1）式可写成 （2）其中，为实对称矩阵，称为二次型的矩阵也把叫做对称矩阵的二次型；同时的秩也称为二次型的秩。定义2.2 仅含有平方项的二次型 （3）称为二次型的标准形。对于二次型，主要问题是：如何寻求一个可逆的线性变换 （4）将其化为标准型。定理2.1 任意元实二次型都可经正交变换化为标准形其中是的矩阵的特征值。例2.1 利用正交变换化二次型化为标准型。解 二次型的矩阵为特征多项式为：所以的特征值为。当时，解得线性无关的特征向量，单位化得。当，解得线性无关的特征向量，单位化得。令则为正交矩阵。于是，正交变换，即化二次型为标准型二次型变换前后的几何描述如图1。
5、 图1 二次型变换前（左图）、后（右图）3 二次型的分类对二次型进行分类，在理论和应用上都有重要的意义。依二次型的正定性，可以将二次型分为以下几类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型等。31 正定二次型和负定二次型定义3.1.1 设实二次型，（i） 如果对于任意一组不全为零的实数,都有，称该二次型为正定二次型，且称矩阵为正定矩阵。（ii） 如果对于任意一组不全为零的实数,都有，称该二次型为负定二次型，且称矩阵为负定矩阵。二次型正定与负定的几何描述如图2、图3。 图2 一元、二元正定二次型 图3一元、二元负定二次型定理3.1.1 对于实二次型，下列条件等价：（i） 是
6、正定的；（ii） 的标准型是；（iii） 存在可逆实矩阵，且；（iv） 存在可逆实矩阵，使得；（v） 的全部特征值皆大于零；（vi） 的各级顺序主子式皆大于零，即。定理3.1.2 对于实二次型，下列条件等价：（i） 是负定的；（ii） 的标准型是;（iii） 存在可逆实矩阵，使得；（iv） 的全部特征值皆小于零；（v） 的奇数阶顺序主子式为小于零，而偶数阶主子式为大于零3，即。例3.2.1 判别二次型的正定性。解 二次型的矩阵为根据定理3.1.1，知为正定二次型。的几何描述如图4。图4 的三维切面图例3.1.2 判别二次型的正定性。解 二次型的矩阵为根据定理3.1.2，知为负定二次型。的几何描
7、述如图5。图5 三维切面图32 半正定二次型和半负定二次型定义3.2.1 设实二次型，（i） 如果对于任意一组不全为零的实数，都有，称该二次型为半正定二次型，且称矩阵为半正定矩阵。（ii） 如果对于任意一组不全为零的实数，都有，称该二次型为半负定二次型，且称矩阵为半负定矩阵。二次型半正定与半负定的几何描述如图6（二元二次型）。 图6二元半正定（左图），二元半负定（右图）定理3.2.1 对于实二次型，下列条件等价：（i） 是半正定的；（ii） 的标准型是；（iii） 存在可逆实矩阵，且；（iv） 存在实矩阵，使得；（v） 的全部特征值皆大于或等于零；（vi） 的所有主子式皆大于或小于零。定理3.
8、2.2 对于实二次型，下列条件等价3：（i） 是半负定的；（ii） 存在实矩阵，使得；（iii） 的全部特征值皆小于或等于零；（iv） 的奇数阶主子式皆小于或等于零，而偶数阶主子式皆大于或等于零3，即。33 不定二次型定义3.3.1 设实二次型，如果既不是正定的，也不是负定的，则称该二次型为不定二次型。例3.3.1 判定二次型的正定性。 解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图7。图7 时的几何图形例3.3.2 判定二次型的正定性。 解 易知所给二次型为不定二次型，其几何描述如图8。图8 4 二次型理论在二次曲面分类上的应用41 理论分析二次曲面方程的一般形式4为 （5）令，则上述方程可
9、以写为 （6）其中就是一个二次型。由于是实对称矩阵，所以存在正交矩阵，使得这里，为的特征值（均为实数）作正交变换，其中，式（6）化为 （7）令，则（7）式化为 （8）1） 若都不为零，配方得： （9）那么，经过平移后式（9）可简化为 （10）其中。下面对（10）式进行讨论。（i）由（10）式得令，则有（椭球面）其几何图形如图9。图9（ii）仿上（10）式可化为（虚椭球面）其中。（iii）仿上（10）式可化为（点）其中。（iv） 中两正一负， 不妨设，仿上（10）式可化为（单叶双曲面）其中。（v） 中两正一负， 不妨设，仿上（10）式可化为（双叶双曲面）其中。（vi） 中两正一负， 不妨设，仿上
10、（10）式可化为（二次锥面）其中。其几何图形如图10。图102） 若中有且仅有一个为零不妨设，这时二次曲面（8）就变成从而， （11）若，则平移后得 （12）再令则(8)式变为 （13）于是又得到下面两类二次曲面:（i）由（13）式得令，则有（椭圆抛物面）其几何图形如图11。图11（ii）仿上（13）式可化为（双曲抛物面）其中再若（11）式中，这时可把（11）式平移后得 （14）其中。这样，又可得五类二次曲面：（iii）由（14）式得若令，则有（椭圆柱面）（iv）其几何图形如图12。图12仿上（14）式可化为（虚椭圆柱面）其中（v）仿上（14）式可化为（直线）（vi）仿上（14）式可化为（双曲
11、柱面）其中，其几何图形如图13。图13（vii）仿上（14）式可化为（两相交平面）3） 若中有且仅有两个为零不妨设，此时（5）就变为配方得 （15）若，作变换代入（15）式得 （16）这样又得到一类曲面。（i） 由（16）式得，令，则有（抛物柱面）若，那么（16）式就变成平移后得 （17）于是可得到最后三类二次曲面：（ii）这时（17）式可化为（一对平行平面）其中（iii）这时（17）式可化为（一对虚的平行平面）（iv）这时（17）式可化为（一对重合的平面）42 应用实例例4.2.1 判别方程所代表的二次曲面的类型。解 方程左边为一三元二次型，不妨设，则的矩阵易求得的特征值为。由（8）式知所求
12、曲面的标准方程为因此，该曲面是单叶双曲面，如图14。图14二次曲面变换前（左图）、后（右图） 例4.2.2 判别方程所代表的二次曲面的类型。解 记，则原方程可写为的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：，；，令则有，作正交变换，其中，则（9）式化为即配方，得作平移变换， ，得这就是原曲面方程的标准方程，它表示一个顶点在原点，旋转轴为轴的圆锥面，如图15。图15二次曲面变换前（左图）、后（右图）5 二次型理论在多元函数极值问题中的应用51 理论分析定义5.1.1 设元函数在的某邻域有一阶、二阶连续偏导数，称为函数在点处的梯度；称为在处的海塞矩阵。定理5.1.1（极值的必要条件） 设元函数，其中对
13、各自变量具有一阶连续偏导数，是的一个驻点，则在处取极值的必要条件是。定理5.1.2（极值的充分条件） 设函数在电的某邻域有一阶、二阶连续偏导数，且,则:(i) 当为正定矩阵时，在处取得极小值；(ii) 当为负定矩阵时，在处取得极大值；(iii)当是不定矩阵时，在处不取极值。证6 记，。将在处作Taylor展开，有 。由于，当，且充分小时，上式可化为由此可以看出，是否是的极值取决于二次型的正定性。当为正定矩阵时，时，就有，即是的极小值。当为负定矩阵时，时，就有，即是的极大值。最后，当是不定矩阵时，在处不取极值。这是因为，倘若在处取得极值，不妨设取得极大值，则沿任何过的直线，在处亦取得极大值。由一元函数
