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1、二维固体问题的有限元法,第7章,内容,引言 线性三角形单元 场变量的插值 构造形函数 使用面积坐标 应变矩阵 单元矩阵 线性矩形单元 构造形函数 应变矩阵 单元矩阵 高斯积分 计算 me,内容,线性四边形单元 坐标映射 应变矩阵 单元矩阵 评述 高次单元 讨论 (高斯积分) 实例研究,引言,2D固体单元用于分析平面应变问题和平面应力题。 2D固体单元可以为具有直边或曲边的三角形、矩形或四边形。 2D固体单元可在2D固体所在平面内变形。 任一点处拥有分别沿x 和 y方向的两个位移分量和力分量。,引言,对平面应变问题可取单位厚度，但对平面应力问题必须使用实际厚度。 分析中，假设单元具有均匀厚度h。
2、 可方便地得到变厚度的2-D单元，其推导过程与均匀厚度的完全一样。,2D固体 平面应力和平面应变,平面应力,平面应变,线性三角形单元,比四边形单元的精度低 被大多数用于生成复杂几何形体的网格生成器所采用 线性三角形单元,场变量的插值,式中,(形函数),节点1 节点2 节点3,构造形函数,假设：,i= 1, 2, 3,or,构造形函数,德耳塔函数性质：,故，,解得，,构造形函数,将 a1、 b1 和 c1 代回到 N1 = a1 + b1x + c1y得：,构造形函数,类似地，,构造形函数,式中,i,j,k,i= 1, 2, 3,通过循环轮换确定j和 k 的值,i = 1, 2,j = 2, 3
3、,k = 3, 1,使用面积坐标,为构造形函数的另一种方法, 2-3-P:,类似地： 3-1-P,A2, 1-2-P,A3,使用面积坐标,单位分解性：,德耳塔函数性质：如当P 位于节点 2 或 节点3 时，L1 = 0,故，,应变矩阵,式中,(常应变单元),单元矩阵,常数矩阵,单元矩阵,对于均匀密度和厚度的单元：,Eisenberg 和 Malvern (1973)公式：,单元矩阵,对于均布载荷：,线性矩形单元,应变矩阵不为常量 可更精确地表示应力和应变 由于形状规则使其公式推导简捷,构造形函数,考虑任一矩形单元,构造形函数,式中,节点1 节点2 节点3 节点4,构造形函数,德耳塔函数性质,单
4、位分解性,应变矩阵,注意：不再为常数矩阵！,单元矩阵,dxdy = ab dxdh,故，,单元矩阵,对于均布载荷：,高斯积分,用于计算ke 和 me中的积分 (实际中),沿1维方向：,对于被积函数为n = 2m - 1 阶的多项式，利用m 个高斯点可得到精确解,沿2维方向：,高斯积分,计算 me,计算 me,例如,注意：实际中经常利用高斯积分求积,线性四边形单元,矩形单元应用受限 应用其边不平行的四边形单元更方便 对于不规则的形状，在应用高斯积分前须进行坐标映射,坐标映射,物理坐标,自然坐标,(位移插值),(坐标插值),坐标映射,式中,坐标映射,将 x = 1 代入,或,消去 ，,应变矩阵,或
5、,式中,(雅可比矩阵),因为,应变矩阵,故，,将Ni对于x 和 y的微分转换成Ni对于 和 的微分,(形函数对于物理坐标的微分与其对于自然坐标的微分之间的关系),单元矩阵,Murnaghan (1951)公式：,dA= |J | dxdh,评述,用于坐标插值的形函数与用于位移场插值的形函数相同，所以这种单元被称为等参数单元。 注意用于坐标插值的形函数不一定非得等于用于位移插值的形函数。 当用于坐标插值和用于位移插值的形函数不相同时，则形成所谓的次参数单元和超参数单元。,高次单元,高次三角形单元,nd = (p+1)(p+2)/2,节点 i,Argyris( 1968)形函数公式：,高次单元,高
6、次三角形单元,三次单元,二次单元,高次单元,高次矩形单元,拉格朗日型：,(Zienkiewicz 等, 2000),高次单元,高次矩形单元,(9节点2次单元),高次单元,高次矩形单元,Serendipity型：,(8节点2次单元),高次单元,高次矩形单元,(12节点3次单元),曲边单元,讨论 (高斯积分),当采用高斯积分算法时，须决定所用的高斯点数。 理论上讲，对于一个1维积分，采用m个积分点可获得以(2m-1)阶多项式为被积函数的精确结果。 作为一普遍适用的法则，对于高次单元应使用较多的高斯点。,讨论 (高斯积分),采用较少数量的高斯点有利于消除由位移法所引起的过硬现象。 使用形函数将限定了
7、单元内部的位移模式。这意味着在某种程度上以形函数的形式规定了单元的位移，即相当于对单元施加了预约束。 受如此约束的单元应较硬。常可观察到高次单元通常较低次单元软，这是由于高次单元对单元的这种约束较弱。,讨论 (高斯积分),线性单元在每个方向上取2个高斯点，2次单元在每个方向上取2或3个高斯点在许多情况下已足够。 大多数基于显式公式的显式有限元程序倾向于采用单点积分以最大限度的节省CPU时间。,实例研究,侧驱动微型电动机,实例研究,10N/m,10N/m,10N/m,实例研究,分析1：使用24个双线性四边形单元（41个节点）的Von Mises 应力分布,实例研究,分析2：使用96个双线性四边形单元（129个节点）的Von Mises 应力分布,实例分析,分析3：使用144个双线性四边形单元（185个节点）的Von Mises 应力分布,实例分析,分析4：使用24个8节点四边形单元（105个节点）的Von Mises 应力分布,实例分析,分析5：使用192个3节点三角形单元（129个节点）的Von Mises 应力分布,实例分析,
