《2021届高考数学一题多解专题05立体几何-（文理通用解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考数学一题多解专题05立体几何-（文理通用解析版）（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021届高考数学二轮复习微专题（文理通用）一题多解之立体几何篇【走进高考】【2019年高考全国卷理数】已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积为ABCD【答案】D【解析】解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，又，分别为，的中点，又，平面，平面，为正方体的一部分，即解法二：设，分别为的中点，且，为边长为2的等边三角形，又，中，由余弦定理可得 ，作于，为的中点，又，两两垂直，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直
2、关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决【例】(2018全国卷)在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABC D【答案】C【解析】解法一：如图，补上一相同的长方体，连接，易知，则为异面直线与所成角因为在长方体中，所以，在中，由余弦定理，得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选C解法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知，所以，则由向量夹角公式，得，即异面直线与所成角的余弦值为，故选C【例】【2017年高考数学全国I理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-P
3、B-C的余弦值.【答案】见解析【知识点】线面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。【试题分析】本题第一问主要考察了面面垂直的判定，其中还需要用到线面垂直的判定第。第二问是考察二面角的求法，属于中档题。【解析】（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，从而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.（2）解法一：（综合法）不妨设PA=PD=AB=DC=1，则易得，取中点，连接，则，所以即为所求二面角的平面角。在三角形中，所以二面角的余弦值为.由（1）及已知可得，.所以，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.
4、方法三：（等体积转化法）不妨设PA=PD=AB=DC=1，则易得，取中点，连接，则。设在平面内投影为，连，则的补角即为所求二面角的平面角。由得，所以二面角的余弦值为.【例】【2016浙江文科第14题】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 .【分析】本题属于立体几何中的折叠问题，在折叠过程中动态测算异面直线所成的角，难度较大，要求学生有较高的空间想象能力。先应分析底面的平面四边形ABCD，将AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90标在图上，可以计算，上的两高线长， ，进而可以计算，还
5、可以发现是的三等分点，。视角一：考虑空间向量解法一：空间向量的坐标运算解析：设直线与所成角为，设是中点，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，翻折过程中始终与垂直，故设，则，与平行的单位向量为，所以，所以当时，取最大值解法二：空间向量的几何运算则，设点在平面上的投影为，因此视角二：考虑纯几何运算解法三：寻找异面直线所成的角解析：由折叠过程可知，在以为圆心，为半径的圆上运动，且垂直圆所在的平面，如图。作于，则， 与所成角即为，且，要使的最大只需的最小，在中，为定值，即只要最短。，因此解法四：利用三面角定理解析：是点在平面上的投影，可知：观察得当与点重合时，和同时达到
6、最小，和同时取最大，此时有最大值。其实在翻折过程中，那么，即当与重合时有最大值。【典例分析】空间线线角问题中的一题多解：【例】【2017年高考数学全国II理第10题】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【考点】 线面角解法二：向量法：取空间向量的一组基底为，则，易知，所以异面直线与所成角的余弦值为.解法三：建系法：如图所示，以垂直于的方向为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，所以异面直线与所成角的余弦值，故本题答案为C.空间线面角、线面垂直问题中的一题多解：【例】【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面
7、ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【答案】（）见解析（）3913【解析】方法一：（）由AB=2，AA1=4，BB1=2，AA1AB，BB1AB得AB1=A1B1=22，所以A1B12+AB12=AA12.故AB1A1B1.由BC=2，BB1=2，CC1=1， BB1BC，CC1BC得B1C1=5，由AB=BC=2，ABC=120得AC=23，由CC1AC，得AC1=13，所以AB12+B1C12=AC12，故AB1B1C1.因此AB1平面A1B1C1.（）如图，过点C1作C1DA
8、1B1，交直线A1B1于点D，连结AD.由AB1平面A1B1C1得平面A1B1C1平面ABB1，由C1DA1B1得C1D平面ABB1，所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1=5，A1B1=22，A1C1=21得cosC1A1B1=67，sinC1A1B1=17，所以C1D=3，故sinC1AD=C1DAC1=3913.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.方法二：（）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：A(0，-3，0)，B(1，0，0)，A1(0，-3，4)，B1(1，0，
9、2)，C1(0，3，1)，因此AB1=(1，3，2)，A1B1=(1，3，-2)，A1C1=(0，23，-3)，由AB1A1B1=0得AB1A1B1.由AB1A1C1=0得AB1A1C1.所以AB1平面A1B1C1.（）设直线AC1与平面ABB1所成的角为.由（）可知AC1=(0，23，1)，AB=(1，3，0)，BB1=(0，0，2)，设平面ABB1的法向量n=(x，y，z).由nAB=0，nBB1=0，即x+3y=0，2z=0，可取n=(-3，1，0).所以sin=|cosAC1，n|=|AC1n|AC1|n|=3913.因此，直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是3913.空间线面平
10、行、二面角问题中的一题多解：【例】(山东高考)如图，在三棱台中，分别为的中点（）求证：/平面；（）若平面，=，=，求平面与平面所成的角（锐角）的大小【解析】（）证法一：连接，设，连接在三棱台中，为的中点，可得，所以四边形为平行四边形，则为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面证法二：在三棱台中，由，为的中点，可得，所以四边形为平行四边形，可得 ，在中，为的中点，为的中点，所以，又，所以平面平面，因为平面，所以 平面（）解法一：设，则，在三棱台中，为的中点，由，可得四边形为平行四边形，因此，又平面，所以平面，在中，由，是中点，所以 ，因此 两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角
11、坐标系，所以，可得，故，设是平面的一个法向量，则由 可得，可得 平面的一个法向量，因为是平面的一个法向量，所以，所以平面与平面所成角（锐角）的大小为解法二：作与点，作与点，连接由平面，得，又，所以平面，因此，所以即为所求的角，在中，由，可得，从而，由 平面，平面，得 ，因此 ，所以 ，所以平面与平面所成角（锐角）的大小为三视图问题中的一题多解：【例】（2017新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A B C D【答案】B【解析】解法一 由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的
12、圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积故选B解法二 该几何体可以看作是高为14，底面半径为3的圆柱的一半，所以体积为。【例】(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】解法一： 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，易知，平面，故，为直角三角形，平面，平面，又，且，平面，又平面，为直角三角形，容易求得，故不是直角三角形，故选C解法二：在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个
13、数为3，故选C【跟踪练习】1（2020天津高三开学考试）如图，在三棱柱中，已知，侧面.（）求直线与底面所成角正切值；（）在棱（不包含端点）上确定一点E的位置，使得（要求说明理由）；（）在（）的条件下，若，求二面角的大小.【答案】（）2；（）当E为中点时，理由见详解；（）二面角的大小为45.【解析】【分析】方法一：() 可得为直线与底面ABC所成角，由已知可得的值；（）当E为中点时，可得，即.可得，平面ABE，；（）取的中点G，的中点F，则，且，连结，设，连结，可得为二面角的平面角，可得二面角的大小.方法二：()以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，可得，面ABC的一个法向量 ，可得的
14、值，可得的值；（）设，则，由，可得y的值，可得E的位置；（）可求得面的一个法向量，平面的一个法向量，可得二面角的大小.【详解】法一：（）在直三棱柱，平面ABC，在平面ABC上的射影为CB.为直线与底面ABC所成角，即直线与底面ABC所成角的正切值为2.（）当E为中点时，.，即. 又平面，平面.，平面ABE， 平面ABE ，.（）取的中点G，的中点F，则，且，连结，设，连结，则，且，为二面角的平面角.，二面角的大小为45.法二：以B为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则. （），面ABC的一个法向量.设与面ABC所成角为，则，.（）设，则，由，得，所以E为的中点. （）由，得，又，可求得面的一个法向量，平面的一个法向量，设二面角的大小为，则.二面角的大小为45.【点睛】本题主要考察线面角的求法，线线垂直的证明及二面角的求法，难度中等，方法二用空间向量求线面角，证线线垂直，
