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1、理科数学复习专题理科数学复习专题 统计与概率统计与概率 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 知识点一知识点一 1、离散型随机变量：随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母， X,Y表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。,x hg g g 2、离散型随机变量的分布列及其性质： （1）定义：一般的，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为X 取 12 , in x xxxg g gg g g 每一个值的概率为，则表(1,2, ) i x in=g g g() ii P Xxp= X1 x 2 x g g gi x g g gn x p1 p 2 p g g
2、 gi p g g gn p 称为离散型随机变量离散型随机变量 X，简称 X 的分布列。 （2）分布列的性质：；0,1,2, i pin=g g g 1 1 n i i p = = （3）常见离散型随机变量的分布列： 两点分布：若随机变量 X 的分布列为, 则称 X 服从两点分布，并称为成功概率(1)pP x= 超几何分布 ： 一般的，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件 次 品 ， 则其 中， 且()(0,1,2, knk MNM n N CC P Xkkm C - - = g g g gmin, mM n= ,称分布列为超几何分布列。如果随机变量 X 的分布列
3、 * , ,)nN MN n M NN 具有下表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布 X01g g gm P 00n MNM n N CC C - - g 11n MNM n N CC C - - g g g g mnm MNM n N CC C - - g 3、随机变量的数学期望（均值）与方差 x01 pp1-p 题型一由统计数据求离散型随机变量的分布列 【例 1】已知一随机变量的分布列如下，且 E()6.3，则 a 值为() 4a9 P0.50.1b A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【变式 1】 某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%；一旦失败，
4、一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开 发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是_ 题型二由古典概型求离散型随机变量的分布列（超几何分布） 【例 2】 在一次购物抽奖活动中， 假设某 10 张券中有一等奖券 1 张， 可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖某 顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值 X 元的概率分布列 投资成功投资失败 192 次8 次 【变式 2】某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级 别公司准备了两种不
5、同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料若 4 杯都选对，则月工资定为 3 500 元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资 定为 2 800 元；否则月工资定为 2 100 元令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数假 设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力 (1)求 X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望 知识点二知识点二 1条件概率及其性质1条件概率及其性质 对于两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率叫做条件概率，用 符号 P(A|B)来表示
6、，其公式为 P(A|B)(P(B)0) P(AB) P(B) 在古典概型中，若用 n(B)表示事件 B 中基本事件的个数，则 P(A|B). n(AB) n(B) 2相互独立事件2相互独立事件 (1)对于事件 A、B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，称 A、B 是相互独立事件 (2)若 A 与 B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立BAAB (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立 3二项分布3二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验
7、，在这种 试验中每一次试验只有_两_种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的 概率都是一样的 (2)在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率 为 p， 则 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2， n)， 此时称随机变量 X 服从二项分布， 记为 X k n B(n，p)，并称 p 为成功概率 题型三 条件概率 例 1(1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)_. (2)如图所示，EFGH 是以 O 为圆心
8、，半径为 1 的圆的内接正方形，将 一粒豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则 P(B|A) _. 练 ： 某地空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的 概率是 0.6， 已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的空气质量为优良的概率是_ 题型四由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列（二项分布） 例例 1 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选 出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手， 其中
9、观众甲是 1 号歌手的歌 迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没 有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手 (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率； (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和， “求 X2”的事件概率 例例 2 在一次数学考试中， 第 21 题和第 22 题为选做题 规定每位考生必须且只须在其中选做 一题设 4 名学生选做每一道题的概率均为 . 1 2 (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率； (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ，求 的概率分
10、布 练习： 一款击鼓小游戏的规则如下 ： 每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不 出现音乐 ； 每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现 三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐 的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立 1 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的概率分布 (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 【误区解密】【误区解密】 抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？抽取问题如何区分超几何分布和二项分布？ 例：某学校 10 个学生的考试成绩如下：（98 分为
11、优秀） （1）10 人中选 3 人，求至多 1 人优秀的概率 （2） 用 10 人的数据估计全级， 从全级的学生中任选 3 人， 用 X 表示优秀人数的个数， 求 X 的分布列 练：练：18、某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电 视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了解这则广告的宣 传效果，随机抽取了 100 名年龄阶段在10,20，20,30，30,40，40,50， 50,60的市民进行问卷调查，由此得到样本频 率分布直方图如图所示. （）求随机抽取的市民中年龄在30,40的人 数； （） 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的
12、方法随机抽取 5 从，求50,60年龄段抽取的人 数； （）从（）中方式得到的 5 人中再抽到 2 人 作为本次活动的获奖者，记X为年龄在50,60 年龄段的人数， 求X的分布列及数学期望. 2、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为 样本， 称出它们的重量 （单位 ： 克） ， 重量分组区间为 （5， 15，（15， 25（25， 35，（35， 45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图 （）求 a 的值； （）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均 值； （）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在（5， 15内的小球个数为 ，求 的分布列和数学期望及 方差
