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1、第2课时 等差数列的性质,等差数列的性质 若数列an是公差为d的等差数列，则有下列性质： (1)在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则.,amanapqq,(3)an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即 . (4)若数列an为等差数列，则数列anb(、b是常数)是公差为 的等差数列 (5)若数列an为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成公差为 的等差数列 (6)若数列an与bn均为等差数列，则AanBbn也是 ,a1ana2an1aiani1,d,md,等差数列,1已知等差数列an中，a31，a7
2、9，则a5() A4B4 C8 D8 解析：a5 (a3a7)4. 答案：A,2已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12的值是 () A64 B31 C30 D15 解析：a8 (a7a9)8，a122a8a415. 答案：D,3在数列an中，a3、a10是方程x23x50的两根，若an是等差数列，则a5a8_. 解析：由已知得a3a103，又a5a8a3a10，a5a83. 答案：3,4若48，a，b，c，12是等差数列中的连续五项，则a、b、c的值依次为_ 解析：由等差数列的性质知2b48(12)，b18，同理2a48b66 a33，同理2cb(12)6，c3，故a，b，c的值依
3、次为33,18,3. 答案：33,18,3,5在等差数列an中，已知a2a3a23a2448，求a13； 解：由mnpqamanapaq，得 a2a24a3a232a13. a2a3a23a2448， 4a1348，a1312.,例1已知等差数列an， (1)若a2a3a25a2648，求a14； (2)若a2a3a4a534，a2a552，求公差d.,分析等差数列的首项a1和公差d是等差数列中最基本的两个量本题如果是利用已知条件列出关于a1和d的方程(或方程组)进而求出a1和d，当然可使问题获解但若能结合等差数列的几个基本性质进行解题，可以收到事半功倍的效果 解(1)a2a26a3a252a
4、14， a2a3a25a264a1448. 解得a1412.,点评本题考查等差数列的两个基本性质解题时应注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果,迁移变式1(1)设an为等差数列，若a3a4a5a6a7450，求a2a8； (2)在等差数列an中，a3a5a7a9a11100，求3a9a13的值 解：(1)a3a7a4a62a5a2a8， a3a4a5a6a75a5450. a590，a2a82a5180. (2)由a3a5a7a9a115a7100得a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.,例2若数列an为等差数列，a158，a6020，求a75的值 分析方法1
5、：先求出a1和d，确定通项公式an，从而得出a75.方法2：本题也可根据性质：an为等差数列，则a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，再进行求解,解法2：an为等差数列， a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列 设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项 a60a153d，2083d，解得d4. a75a60d20424.,点评等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数列，解法2正是应用等差数列这一性质解题的,迁移变式2已知数列an为等差数列 (1)若a1510，a4590，求a60； (2)公差d2，且a1a4a7a9750，求a3a6a9a99的值,例3已知四个数成
6、等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数,点评(1)对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个数的“对称设项”是xd，x，xd；五个数是x2d，xd，x，xd，x2d；四个数则是x3d，xd，xd，x3d等等本题解法3就是运用“对称设项法”，是三个解法中最简捷的 (2)除用对称设项方法外，也可以用“设基本量法”，即设出a1、d，运用通项公式表示所需的项，它也能起到化多为少的作用,迁移变式3(1)有三个数成等差数列，它们的和为9，积为21，求这三个数 (2)已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ，求这5个数,例4已知
7、f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x1)f(x)1；当x为偶数时，f(x1)f(x)3，且f(1)f(2)5. (1)求证：f(1)，f(3)，f(5)，f(2n1)(nN*)成等差数列 (2)求f(n)的解析表达式,解(1)x为奇数时，x1为偶数， 由已知条件，可得 f(x1)f(x)1， f(x2)f(x1)3， ，得f(x2)f(x)4. 又f(x)定义在N*上， f(1)，f(3)，f(2n1)(nN*)成等差数列,迁移变式4已知函数f(x)2x，等差数列an的公差为2. 若f(a2a4a6a8a10)4，则log2f(a1)f(a2)f(a3)f(a10)_.,解析：f(a2a4a6a8a10)2a2a4a6a8a104， a2a4a6a8a102. 又a1a3a5a7a9(a2d)(a4d)(a10d)25d8， a1a2a102(8)6. log2f(a1)f(a2)f(a10)log2(2a1a2a10)a1a2a106. 答案：6,3等差数列的常见设法 (1)若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad； (2)若五个数成等差数列，可设为a2d，ad，a，ad，a2d； (3)若四个数成等差数列，可设为a3d，ad，ad，a3d.,
