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1、第十八章平行四边形,18.2特殊的平行四边形,18.2.3正方形,新知 1 正方形的定义,定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. (1)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；(2)既是矩形又是菱形的四边形是正方形；(3)正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形. 正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图18231.,拓展：正方形定义的巧记方法：四条边都相等，四个角都是直角.,例题精讲 【例1】如图18232所示是44个小正方形，则该图形中共有多少个大大小小的正方形？,解设最小的正方形边长为1，则边长为1的正方形共
2、有16个，边长为2的正方形共有9个，边长为3的正方形共有4个，边长为4的正方形共有1个，总共有1694130(个). 点拨最小的正方形边长为1，则正方形共有四种情况：11,22,33,44.,举一反三,1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( ) A.对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等，四个角相等 2.下列说法正确的是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形,C,D,C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 3.正方形具备而菱形不具备的性质是( ) A.四条边都相等 B. 四
3、个角都是直角 C. 对角线互相垂直平分 D. 每条对角线平分一组对角,B,新知 2 正方形的性质 (1)拓展：一组邻边相等的矩形叫做正方形； (2)性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质； (3)对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴.正方形也是中心对称图形.,例题精讲 【例2】如图18233，正方形ABCD的对角线BD长为 ，若直线l满足：点D到直线l的距离为 ；A，C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的条数为() A.1条 B.2条 C.3条D.4条,解析如图18234，连接AC与BD相交于O， 正方形ABCD的对角线BD长为2 ， OD . 直线lAC并且到D的距离为
4、. 同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件， 故共有2条直线l. 答案B,举一反三 1.如图18235，正方形ABCD中，AEAB，直线DE交BC于点F，则BEF等于( ) A. 35B. 45C. 55D. 60,B,2.如图18236，点E在正方形ABCD的边AB上，AE3，BE1，点M是DE的中点，若点P在正方形ABCD的边上，且PM2.5，则符合条件的点P的个数是( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个,D,新知 3 正方形的判定 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义. 主要方法有两条：(1)先证它是矩形，再证有一组邻边相等；(2)先证它是菱形，再证有一个角是直角.
5、拓展：判定一个四边形为正方形的一般顺序：(1)先证明它是平行四边形；(2)再证有一组邻边相等(或有一个角是直角)；(3)最后证有一个角是直角(或有一组邻边相等).,例题精讲 【例3】如图18237，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HAEBFCGD，连接EG，FH，交点为O，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是正方形.,解析先证明AEHBFECGFDHG，可得出四边形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形GHEF是正方形. 证明四边形ABCD是正方形， ABCD90，ABBCCDDA. H
6、AEBFCGD， AEBFCGDH. AEHBFECGFDHG， EFFGGHHE.,四边形EFGH是菱形. DHGAEH，DHGAEH. AEHAHE90， DHGAHE90. GHE90. 四边形EFGH是正方形. 点评本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形的性质，掌握正方形的判定方法是解决问题的关键.,举一反三 1. 如图18238，在矩形ABCD中，AD2AB，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF分别交于点M，N两点，则四边形EMFN是( ) A. 正方形B. 菱形 C. 矩形 D. 无法确定,A,2. 已知在四边形ABCD中，AC与BD相交
7、于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( ) A. ACBD，ABCD，ABCD B. ADBC，AC C. AOBOCODO，ACBD D. AOCO，BODO，ABBC,C,3.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图18239)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( ) A. B. C. D. ,B,新知4正方形的面积 正方形的面积的计算方法： (1)正方形的面积等于其边长的平方； (2)正方形的面积等于其两条对角线乘积的一半(因为正方形是特殊的菱形，故可以用菱形面积
8、的计算方法来计算). 拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大,【例4】如图18240所示，正方形ABCD的周长为16 cm，顺次连接正方形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于cm，面积等于cm2.,解析由题意可知，四边形EFGH也是正方形， 正方形ABCD的周长为16 cm， ABBCCDDA4 cm. AHAE2 cm. 在RtAEH中，EH2AE2AH2， EH222228. EH cm. 四边形EFGH的周长为 4 (cm)， 面积为( )28 cm2. 答案 8,1. 如图18241，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分
9、面积为 .,1,2.如图18242，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2.( ) A. 8B. 16C. 4D. 无法确定,A,1. 如图18243，点E在正方形ABCD内，满足AEB90，AE6，BE8，则阴影部分的面积是( ) A. 76 B. 70 C. 48 D. 24,A,7. (6分)如图KT18217，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FDDE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H.若BDBF，求BE的长.,8. (6分)如图KT18218，已知正方形ABCD中，边长为10 cm，点E在AB边上，B
10、E6 cm. (1)如果点P在线段BC上以4 cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，BPE与CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPE与CQP全等？,解：(1)t1 s，BPCQ414 cm， 正方形ABCD中，边长为10 cm，PCBE6 cm. 又正方形ABCD，BC. BPECQP； vPvQ，BPCQ. 又BPECQP，BC，则BPPC， 而BP4t，CP104t，4t104t.,点P，Q运动的时间 ， ,(2)若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？,(2)设经过x s后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 4.8x4x30， 解得 点P共运动了 点P，Q在A点相遇.经过 点P与点Q第一次在A点相遇.,
