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1、高中数学参数方程学案2 新人教A版选修4-4新课标选修4_参数方程与极坐标一. 本周学习内容： 平面解析几何第三章“参数方程与极坐标”全章小结与巩固提高，主要包括：（1）知识要点与方法的回顾；（2）典型例题分析与讲解；（3）单元检测。二. 重点、难点： 1. 参数方程与普通方程的区别与联系： 在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x，y之间满足的等量关系F（x，y）0，这样得到的方程F（x，y）0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x，y间接地联系起来，此时可得到方程组 显然
2、，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系。 尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但他们之间又有着密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。 实质上，参数的思想方法就是在运动变化的哲学思
3、想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量。参数法在求曲线的轨迹方程，以及研究某些最值问题时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。 2. 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。 3. 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=j(t)），再代入普通方程F（x，y）0，求得另一关系y=j(t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）。 4. 常见曲线的参数方程的一般形式： （1）经过点P0（x0
4、，y0），倾斜角为a的直线的参数方程为 利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便。方法是： 则（1）当0时，l与C有两个公共点；此时方程at2+bt+c=0有两个不同的实根t1、t2，把参数t1、t2代入l的参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标；另外，由参数t的几何 （2）椭圆、双曲线、抛物线的参数方程 5. 极坐标系与点的极坐标： 极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成。对于平面内任一点P，若设OP=r（0），以Ox为始边，OP为终边的角为q，则点P可用有序数对（r，q）表示，（由于角q表示方法的多样性，故
5、（r，q）的形式不唯一，即一个点的极坐标有多种表达形式）。对于极点O，其极坐标为（0，q），q为任意值，但一般取q=0，即极点的极坐标为（0，0）。 6. 极坐标与直角坐标的互化： 互化的前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。 设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（r，q），则 若把直角坐标化为极坐标，求极角q时，应注意判断点P所在的象限（即角q的终边的位置），以便正确地求出角q。 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 7. 特殊位置的直线与圆的极坐标方程： 利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦、焦半径有关的问题
6、。 注：本章的重点是（1）参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化为普通方程；较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；（2）极坐标与直角坐标的互化，重点方法：消参的种种方法；极坐标方程化为直角坐标方程的方法；设参的方法。【典型例题】 例1. 分析与解： 的变化范围对应相同，按照这一标准逐一验证。 例2. A. 双曲线B. 双曲线的上支C. 双曲线下支D. 圆 分析与解： 把方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型。注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项： 显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
7、。 例3. 分析与解： 方法之一可把直线的参数方程化为普通方程，与双曲线方程联立，消元，再结合韦达 例4. 分析一：注意到变量（x，y）的几何意义，故研究二元函数x+2y的最值时，可转化为几何问题。若设x+2y=t，则方程x+2y=t表示一组直线（t取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x，y）既满足2x2+3y2=12，又满足x+2y=t，故点（x，y）是方程 解法一： 分析二： 由于研究二元函数x+2y相对困难，因此有必要消元，但由x，y满足的方程2x2+3y2=12表出x或y，会出现无理式，这对进一步求函数最值依然不够简洁，能否有其他途径把二元函数x+2y转化为一元函数呢？ 解法二：
8、注以上两种解法都是通过引入新的变量来转化问题，解法一是通过引入t，而把x+2y几何化为直线的纵截距的最值问题；解法二则是利用椭圆的参数方程，设出点P的坐称为“参数法”。 例5. 已知线段BB=4，直线l垂直平分BB，交BB于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，P，使OPOP9，求直线BP与直线BP的交点M的轨迹方程。 解： 以O为原点，BB为y轴，l为x轴建立直角坐标系，则B（0，2），B（0，-2）， 注这是一道参数法（引入a作为参数）求轨迹方程的典型题，注意体会参数在解决问题中的作用。 例6. A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线 分析与解： 显然该方程表示抛物线
9、，故选D。 若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究。 例7. 分析： 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点，直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程。 解： 极点的直角坐标为O（0，0） 例8. 角形ABC的形状，并求出它的面积。 分析： 判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长。 解： 由余弦定理，得： 例9. 如图，点A在直线x=5上移动，等腰OPA的顶角OPA为120（O，P，A按顺
10、时针方向排列），求点P的轨迹方程。 分析一： 若设A（5，t），即引入变量t，则可求点P的轨迹的参数方程。为此，只需寻找两个等量关系：（1）POPA；（2）APO120 解法一： 设A（5，t），P（x，y） 由，消去t，可得点P的轨迹方程（此时发现：消去t显得多么繁杂，甚至不可能。因此此法应放弃，该选择新的方法）。 分析二： 若建立极坐标系，也许求点P的轨迹的极坐标方程更简明些。只需以O作为极点，Ox轴的正方向为极轴建立极坐标系。再寻找点P（r，q）与点A（r0，q0）的坐标之间的关系，可分别寻求r与r0的关系以及q与q0的关系。 解法二： 取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x
11、=5的极坐标方程为rcosq=5 设A（r0，q0），P（r，q） 把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为： 【模拟试题】 1. 已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标有（ ）个。 A. B. C. D. 2. 点的极坐标为（ ） 3. 圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为（ ） 4. 极坐标方程为表示的圆的半径为（ ） 5. 若A，B，则|AB|=_，_。（其中O是极点） 6. 极点到直线的距离是_。 7. 极坐标方程表示的曲线是_。 8. 若圆C的方程是，则它关于极轴对称的圆心方程为_，它关于直线对称的圆的方程为_。 9. 方程表示的曲线是_。 10. 直线（t为参数）上任
12、一点P到的距离为_。 11. 直线，则AB的中点坐标为_。 12. 的轨迹方程为_。 13. 求椭圆。 14. 若方程 15. ，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围。【试题答案】 1. 能表示点M的坐标有（三）个，分别是B、C、D。 2. 由，得位于第四象限且或，故点的极坐标为或写成。 3. 如下图，设圆上任一点为P（），则 4. 方法一：方程变形为，该方程表示的圆的半径与圆的半径相等，故所求的圆的半径为r=1 方法二：把方程化为 化为直角坐标方程为 即 可见所求圆的半径r=1 5. 在极坐标系中画出点A、B，易得 6. 极点为（0，0），直线的直角坐标方程为 极点到直线的距离。 7. 方程两边同乘以，则 8. 关于极轴对称的圆方程为，关于直线对称的圆的方程为。 9. 方程表示的曲线为双曲线（可把参数方程化为普通方程xy=ab） 10. 所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式） 11. 中点坐标为 （把代入，设A、B对应的参数分别为，则AB中点对应的参数为，将代入直线参数方程
