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1、高中数学 圆锥曲线 新人教版专题复习圆锥曲线知识能力回眸： 曲线性质椭 圆双曲线抛物线轨迹条件点集：MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集：MMF1-MF2=2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.图 形标准方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)=2px(p0)顶 点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a短轴长：2b对称轴x=0,y=0实轴长：2a 虚轴长：2b对称轴y=0焦 点F1(-c,0),F2(c,0)焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上F(
2、，0)焦点对称轴上焦 距F1F2=2c，F1F2=2c,准 线x=x=x=-离心率e=,0e1e=,e1e=1焦半径若点在右支上，若点在左支上，方法技巧回眸：（1）解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是 ，消元得到一元二次方程或一元一次方程，必须讨论 ，如果二次项系数不为0，利用 寻找两根之和与两根之积得关系；当然有时借助图形的几何性质更为简洁，另外对于直线过轴上的点，通常设直线方程为 ，可避免对直线的斜率是否存在的讨论。(2) 凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用 法，涉及垂直关系往往也利用 ， 设而不求，简化运算。（3）在解析几何中求最值，关键是建立 ，再利用代数方法求出相应的最值，注意
3、要考虑 的取值范围。另外解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。解答规范题：（本题满分13分）已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，是以为直径的圆，直线：与相切，并且与椭圆交于不同的两点 （）求椭圆的标准方程； （）当，且满足时，求弦长的取值范围解:（）依题意，可知， -1分又点在椭圆上 且 - -2分解得 - -4分椭圆的方程为 -5分 （）直线：与相切，则，即， -6分由，得， -7分直线与椭圆交于不同的两点设， -9分， -11分设，则，在上单调递增 -13分题型1：圆锥曲线的定义与标准方程：例1：已知双曲线与椭圆有公共的焦点，并且椭圆的离心
4、率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程。解：由题意知，双曲线的焦点在轴上，则可设双曲线的方程为 双曲线与椭圆有公共的焦点 又椭圆的离心率为，故双曲线的离心率为， 双曲线的方程为例2：已知椭圆C：的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且向量与共线()求椭圆的离心率e；()若是椭圆C的一条准线，求椭圆C的方程.解：()，是共线向量，b=c,故 () 由，又， 所以椭圆C的方程为题型2：与圆锥曲线弦长、距离有关的问题：例3：在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线上一点M的横坐标是3，求点M到此双曲线的右焦点的距离。解：（方法一）代人得，不妨设，右焦点，（方法
5、二）由双曲线第二定义知，到右焦点的距离与到右准线的距离比为离心率，例4：已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-，0）.若，求直线的倾斜角；解：（）由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.()由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或.题型3：中
6、点弦问题及“点差法”的应用：例5：设椭圆与直线相交于、两点，点是的中点，若，的斜率为，求椭圆的方程。例6：已知椭圆的长轴长为4。（）若以原点为圆心、短轴短半轴为半径的圆与直线相切，求椭圆的焦点坐标；（）若点是椭圆上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于、两点，记直线、的斜率分别为、，当时，求椭圆的方程。解：()由得又 ，两个坐标分别为,()由于过原点的直线与椭圆相交的两点、关于坐标原点对称，不妨设，由于、在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有，。两式相减得：由题意可知直线、的斜率存在，则，则，由得，故所求的椭圆方程为。题型4：圆锥曲线中的最值、取值范围问题：例7：已知抛物线的焦点是F，点P是抛物线上
7、的动点，又有点A(3,2)()求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标；()求点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值。解：2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线：的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，当PA时，|PA|+d最小，最小值是即|PA|+|PF|的最小值为 此时P点纵坐标为2，代入，得，点P坐标为(2,2)(2)由于直线即为抛物线的准线，故|PB|+d=|PB|+|PF|BF|，当且仅当B、P、F共线时取等号而 |PB|+d的最小值为例8：已知平面直角坐标系中的点及圆：，又圆上任意一点，将坐标平面折叠，使与点重合，此时折痕与直线相交于点。（）求动点的轨迹
8、方程；（）求动点作圆：的两条切线、，切点为、，求的最小值。解：（）由已知在的垂直平分线上，所以所以，点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆，又所以，点的轨迹方程是.()由圆的图形可得 所以故当最小时，最小.设点坐标为因为， 所以，时，从而，所以，的最小值为.例9：已知抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p (1)求的取值范围 (2)若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值 解 (1)设直线l的方程为 y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p 4ap+2p2p2,即4app2，又p0,a (2)设A(x1,
9、y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,则有x=p 线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0），点N到AB的距离为从而SNAB=当a有最大值时，S有最大值为p2 例10：如图，已知圆的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点的直线1交椭圆于C，D两点 （1）求椭圆的方程 （2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围。解：(1) 过点、，故椭圆的方程为 6分(2)直线：消得由，又设、，则，在圆的内部，又. 题型5：圆锥曲线中的定值、定点问题： 例 11：已知椭圆的两个焦点分别为
10、，点P在椭圆上，且满足，直线与圆相切，与椭圆相交于两点（I）求椭圆的方程； （II）证明：为定值（为坐标原点）7分13分20解：（I）由题意，解三角形得，由椭圆定义得，从而又，则，所以椭圆的方程为 （6分）（II）设交点，联立消去得由韦达定理得 （9分）又直线与圆相切，则有 （11分）从而 （12分）所以，即为定值 （13分）例12：已知抛物线C:上横坐标为4的点到焦点的距离为5.（）求抛物线C的方程；（）设直线与抛物线C交于两点，且（，且为常数）.过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，连结、得到.（1）求证：；（2）求证：的面积为定值.解 （1）依题意得：，解得.所以抛物线方程为 .（2）
11、由方程组消去得：.（）依题意可知：.由已知得，. 由，得，即，整理得.所以 . （）由（）知中点，所以点，依题意知.又因为方程（）中判别式，得.所以 ，由（）可知，所以. 又为常数，故的面积为定值. 例13：已知抛物线，直线过抛物线的焦点。（1）求的值；（2）在直线上任取一点作抛物线的两条切线、，切点分别为、，求证：弦所在的直线恒过定点。 解：（）抛物线的焦点为，将代人直线得（）设、，则，直线的方程为，即 .，在点处的切线的方程为，即 ；同理可得在点处的切线的方程为 由得 .又点在直线上，有，即 ，将代人得直线的方程为，直线过定点.圆锥曲线中的轨迹问题：例14：已知点和直线，作，垂足为，且。（）求点的轨迹方程；（）过点的直线与点轨迹交于两点，点，若的面积为，求直线的方程。解：（）由已知，得。，设，代人上式得，平方整理得（）由题意可知直线的斜率不为零，且恰为双曲线的右焦点，设直线的方程为，由得。若，则直线与双曲线只有一个交点，这与矛盾，故由韦达定理可得 ，或 。直线的方程为或。与平面向量、数列及导数等知识相结合的综合问题：例15：已知圆过椭圆的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点在椭圆E上。 （）求m的值及椭圆E的方程； （）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围。解：（）因为直线交圆C所得的弦长为所以圆心到直线的距离等于即所以（舍去）3分又因为直线过椭圆E的右焦点，所以右焦点坐标为
