《上海海事大学 概率论和数理统计 盛子宁 第一章++概率论的基本概念课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海海事大学 概率论和数理统计 盛子宁 第一章++概率论的基本概念课件（106页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 概率论的基本概念,1.1 随机事件及其运算,可在相同的条件下重复的随机现象又称为随机试验。,在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。,样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为S 。,样本空间的元素，称为样本点(或基本事件)，常记为 ，S= 。,随机事件 样本空间的子集,常记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合。,如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .,事件,基本事件,（相对于观察目的 不可再分解的事件）,复合事件,（两个或一些基本事件并在一起，就 构成一个复合事件）,事件 B=掷出奇数点,事件 Ai =掷出i点 i = 1,2,3,
2、4,5,6,例1 随机试验及相应的样本空间,E1 :投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,有限样本空间,E2 :观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,E3 : 观察某灯泡的寿命,基本事件 仅由一个样本点所组成的子集它是随机试验的直接结果，每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件。,随机事件 样本点所组成的集合，样本空间的子集。,随机事件发生 组成随机事件的一个样本点发生。,必然事件全体样本点组成的事件,记为S 每次试验必定发生的事件。,不可能事件 每次试验必定不发生的事情，即不包含任何样本点的事件，记为。,事件的关系和运算,Venn图,A,S,随机事件的关系和运算类似于集合的关系和运算,
3、1. 事件的包含, A 包含于B,事件 A 发生必导致事件 B 发生,2. 事件的相等,3. 事件的并(和), A 与B 的和事件,事件 A与事件B 至 少有一个发生,的和事件 ,的和事件 ,4. 事件的交(积),事件 A与事件B 同时发生, A 与B 的积事件,的积事件 ,的积事件 ,5. 事件的差, A 与B 的差事件,发生, 事件 A 发生，但事件 B 不发生,6. 事件的互斥(互不相容), A 与B 互不相容（互斥）,A、 B不可能同时发生,两两互斥,两两互斥,7. 事件的对立, A 与B 互相对立（互逆）,每次试验 A、 B中有且只有一个发生,称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记
4、为,注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互不相容”是不同的概念,运算律,吸收律,重余律,幂等律,交换律,结合律,分配律,差化积,运算顺序：,对偶律,逆交并差，括号优先。,例2 利用事件关系和运算表达多个事件的关系:,A ,B ,C 都不发生,A ,B ,C 不都发生,A 发生，而 B 不发生,例3 生产加工三个零件 ，分别用 表示第 i 个零件为正品。用 及事件的运算表示下列事件： （1）没有一个零件是次品，全是正品。( B1 ) （2）只有第一个是次品。( B2 ) （3）恰有一个是次品。 ( B3 ) （4）至少有一个是次品。 ( B4 ),解：,（1）,(2),(2),(3),(3
5、),(4),1.2 概率的定义及确定方法,1.2.1 概率的 公理化定义,非负性公理：对每一个A ，有P(A) 0 正则性公理：P( S ) = 1 可列可加性公理：若A1 , A2 , 互不相容， 有:,设 E 是随机试验，S 是样本空间。如果对于E的每一事件 A ，赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件A的概率，如果 P(A) 满足：,公理化定义没有告诉我们如何去确定概率。,而概率的频率定义、古典定义、几何定义和主观定义都在一定的场合下，有着各自确定概率的方法,频率的稳定性,实验者 n nH fn(H) 德.摩根（De.Morgan）204810610.5181 蒲丰(Buffon）40
6、4020480.5069 K.皮尔逊（K.Pearson）1200060190.5016 K.皮尔逊（K.Pearson）24000120120.5005,观察历史上有多位有名的科学家的“抛硬币”试验结果，有什么规律?,1.2.2 确定概率的频率方法,这个事实表明，偶然现象背后隐藏着必然性。“频率稳定性”就是偶然性中隐藏的必然性。“频率稳定值”就是必然性的一种度量，反映了偶然现象发生可能性的大小。,例：福尔莫斯破密码,高尔顿钉板试验,概率的统计定义,为了研究事件 A 的概率，在相同的条件下，重复进行 n 次试验，若 A 出现（发生）了 k 次，则称 为事件 A 的频率 。,理论和试验都表明，当
7、 n充分大时，频率具有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：,最早研究的概率模型,解: 设 A: 得奇数.,例 掷一枚骰子,求得奇数的概率.,显然, P(A)=3/6=1/2.,1.2.3 确定概率的古典方法,1） 随机试验或观察的所有可能结果为有限个，每次试验或观察发生且仅发生其中的一个结果；,其特征为：,2） 每一个结果发生的可能性相同。,对古典概型,某随机事件 A发生的概率:,古典概率计算举例,例1 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,I,S,
8、C,N,C,E,的概率有多大？,E,解：七个字母的排列总数为7！,拼成英文单词 SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,例2 某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率。,解：,问：,错在何处？,=0.3024,例3 设有N 件产品，其中有M 件次品，现从这N件中任取n 件，求其中恰有k 件次品的概率。,解：令B=恰有k件次品,这是一种无放回抽样.,例4 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？,解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为:,而出现事件A
9、的分法数为 n!, 故,将m个球等可能地分到 M个盒中，每一个盒子的容量不限。考察以下各种分法的概率： 1）A：某指定的m个盒子中各有一球； 2）B：恰有m个盒子中各有一球。 3） C: 某指定的盒子中恰有 k 球 ( km ),例5 分球问题,解: 所有可能的分法有：M m 种,A 成立的分法有:,1）A：某指定的m个盒子中各有一球；,B 成立的分法有 种,2）B：恰有m个盒子中各有一球。,3） C: 某指定的盒子中恰有 k 球 ( km ),C 成立的分法有 种,某班有50位同学，他们中至少有2位在同一天过生日的概率是多少?,例6 生日问题,一般地，有：,.411,.507,.706,.8
10、91,.997,.9999997,1.2.4 确定概率的几何方法,基本思想：,S 充满某个区域，其度量可用SS 表示;,任意点落在度量相同的子区域内是等可能的;,若事件 A 为 S 中的某个子区域，其度量可用 SA 表示;则： P( A ) = SA / SS,例1 会面问题,甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。,解： 设甲到达时间为 x ； 乙到达时间为 y ； 两人能会面：A 。,例2 蒲丰投针问题,例3 贝特朗悖论,1.2.5 确定概率的主观方法,Bayes学派认为：,一个事件的概率是人们根据经验对该事物发生的可
11、能性所做出的个人信念。,主观概率,1.3 概率的性质,P( )= 0,有限可加性 若A1, A2, An ,是两两互不相容的事件，则有：,单调性 设A , B 是两个事件，若AB , 则有：,推论：对任意事件A, B, 有：,对于任一事件 A P(A) 1,（逆事件的概率）对于任一事件 A，有：,（加法公式） 对于任意两事件 A, B 有：,对于任意 n 个事件 A1 , A2 , An , 有：,1.4 条件概率,引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球，1只塑料球。现从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相同。 设 A: 取到的球是白球。B:取到的球
12、是木球。 求：1) P(A); 2) P(AB) ; 3) 在已知取出的球是白球的条件下，求取出的是木球的概率。,解：,列表,3). 所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为,定义： 设 A、B 为两事件, P ( B ) 0, 则称 为事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率。记为,一般地,我们有:,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有上式。,条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：,可列可加性,规范性,非负性,条件
13、概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,2) 从加入条件后改变了的情况去算。,P(A|B）=,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,解法1:,解法2:,利用条件概率求积事件的概率,推广：,乘法公式,(1),已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率。,解 令 A ：灯泡能用到1000小时； B ：灯泡能用到1500小时。,所求概率为,例3,某人外出旅游两天，据天气预报，第一天下雨的概率为0
14、.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨的概率为0.1. 当第一天下雨时，求第二天不下雨的概率。,解： 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨,例4,一盒中装有5件产品，其中有3件正品， 2件次品，从中不放回地取两次，每次1件，求： （1）都取得正品的概率 （2）第二次取得正品的概率 （3）第二次才取得正品的概率,解： 令 Ai 为第 i 次取到一等品i=1,2。,（1）,（2）,例,(3) 第二次才取得一等品的概率,例6 波里亚罐子模型,一个罐子中包含 b 个白球 和 r 个红球. 随机地抽取一个 球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续
15、进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,解: 设 Wi =第i次取出是白球, i = 1, 2, 3, 4,Rj =第j次取出是红球， j =1,2,3,4,A= W1 W2 R3 R4,利用乘法公式：,P(W1W2R3R4),=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率。为一传染病模型。 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率。,例7 抽签问题,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决。,中签概率于抽签顺序是否有关,到底谁
16、说的对呢？,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,则 表示“第i个人未抽到入场券”,显然，P(A1)=1/5，P( )4/5,也就是说，,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,由于,由乘法公式,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5),继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后！,结论：,(3/4),(1/3),=1/5,全概率公式与Bayes 公式,引例 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3。1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（1）求取得红球的概率。（2）已知取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。,(1) 解：记 Bi = 球取自 i 号箱 , i=1, 2, 3;
