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1、考点29 直线、平面垂直的判定及其性质1、 选择题1.(2016浙江高考文科T2)已知互相垂直的平面, 交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选C.由题意知,=l,所以l,因为n,所以nl.2、 填空题2.(2016全国卷理科T14),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么,如果m,n,那么mn;如果,m,那么m;如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)【解题指南】借助正方体模型分析、论证.【解析】对于,AA(m)平面ABCD(),A
2、A(m)AD(n),AD(n)平面ABCD(),显然平面ABCD()平面ABCD(),故错误;对于,n,由线面平行的性质定理,可知n与内的一条直线l平行,因为m,所以ml,所以mn,故正确;对于,设过m的平面交于直线l,因为,m,由面面平行的性质定理可知ml,由线面平行的判定定理,可知m,故正确;对于,若m,n分别与平面,平行(或垂直),结论显然成立,若m,n分别与平面,不平行,也不垂直,可以分别作出m,n在平面,内的射影,由等角定理,可知结论也成立,故正确.答案:三、解答题3.(2016全国卷高考文科T18)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投
3、影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点.(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.【解题指南】(1)证明ABPG.由PA=PB可得G是AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.四面体PDEF的体积V=222=.【解析】(1)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.因为
4、PDDE=D,所以AB平面PDE,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G为AB的中点.(2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.又PAPC=P,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=PG,DE=PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2
5、,PE=2.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2.所以四面体PDEF的体积V=222=.4.(2016全国卷文科T19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD.(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.【解题指南】(1)先证ACEF,再证EFHD,即可证CD.(2)利用勾股定理,先证D,进而可证D平面C,D就是五棱锥的高.再计算底面的面积,进而可得五棱锥D-ABCFE的体积.【解析】(1)由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF,得
6、,故ACEF.由此得EFHD,故EFHD,又ACEF,所以ACHD.(2)由ACEF,得.由AB=5,AC=6,得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+1=9=DH2,故ODOH.由(1)知,ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BDH.于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.又由,得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2=.5.(2016浙江高考文科T18)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:
7、BF平面ACFD.(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【解析】(1)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示,因为平面BCFE平面ABC,平面BCFE平面ABC=BC,AC平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,所以BFAC,又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK,ACCK=C,所以BF平面ACFD.(2)因为BF平面ACK,所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角,在RtBFD中,BF=,DF=得cosBDF=,所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.6.(2016四川高考理科T18)如图,在四棱锥P-ABC
8、D中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由.(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【解题指南】(1)在平面ABCD中,找出AB的延长线CM,从而找出点M.(2)根据题知找出线段之间的关系,过点A作AFEC交EC于点F,从而找出线面角,进而求出直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【解析】(1)延长AB,交直线CD于点M,因为E为AD中点,所以AE=ED=AD,因为BC=CD=AD,所以ED=BC,因为ADBC即EDBC,所以四边
9、形BCDE为平行四边形,所以BECD,因为ABCD=M,所以MCD,所以CMBE,因为BE平面PBE,所以CM平面PBE,因为MAB,AB平面PAB,所以M平面PAB,故在平面PAB上可找到一点M使得CM平面PBE.(2)过A作AFEC交EC于点F,连接PF,过A作AGPF交PF于点G,因为PAB=90,PA与CD所成角为90,所以PACD,PAAB,因为ABCD=M,所以PA平面ABCD,因为EC平面ABCD,所以PAEC,因为ECAF且AFAP=A,所以CE平面PAF,因为AG平面PAF,所以AGCE,因为AGPF且PFCE=F,所以AG平面PFC,所以APF为所求PA与平面PCE所成的角
10、,因为PA平面ABCD,ADC=90,即ADDC.所以PDA为二面角P-CD-A所成的平面角,由题意可得PDA=45,而PAD=90,所以PA=AD,因为BC=CD,四边形BCDE是平行四边形,ADC=90,所以四边形BCDE是正方形,所以BEC=45,所以AEF=BEC=45,因为AFE=90,所以AF=AE,所以tanAPF=,所以sinAPF=.7.(2016四川高考文科T17)如图,在四棱锥P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=AD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由.(2)证明:平面PAB平面PBD.【解析】(1)取棱AD
11、的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点,理由如下:因为ADBC,BC=AD,所以BCAM,且BC=AM,所以四边形AMCB是平行四边形,所以CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知,PAAB,PACD,因为ADBC,BC=AD,所以直线AB与CD相交,所以PA平面ABCD,所以PABD.因为ADBC,BC=AD,M为AD的中点,连接BM,所以BCMD,且BC=MD,所以四边形BCDM是平行四边形,所以BM=CD=AD,所以BDAB,又ABAP=A,所以BD平面PAB,又BD平面PBD,所以
12、平面PAB平面PBD.8.(2016江苏高考T16)(本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F.(2)平面B1DE平面A1C1F.【解题指南】根据三角形的中位线及直三棱柱的性质,应用线面平行,面面垂直的判定定理证明.【证明】(1)因为D,E是中点,所以DEAC,又ACA1C1,所以DEA1C1,又因为A1C1平面A1C1F,且DE平面A1C1F,所以DE平面A1C1F.(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1平面A1B1C1,所以AA1A1C1.又因为A1C1A1B1,且AA1A1B1=A1,AA1,A1B1平面AA1B1B,所以A1C1平面AA1B1B,所以A1C1B1D,又A1FB1D,A1FA1C1=A1,所以B1D平面A1C1F,又因为B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.
