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1、第八节 函数的图象,三年10考 高考指数: 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题. 3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.,1.知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点. 2.利用数形结合思想，借助相应函数的图象研究函数的性质（单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点）、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点. 3.题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目.,1.六类基本初等函数的图象,(k0),(k0),(a1),(0a1),1,1,(a1),(0
2、a1),y=x,1,1,【即时应用】 (1)下列四个图象是函数y=log2x的图象的是_.,(2)在同一平面直角坐标系中，函数f(x）=ax与g(x)=ax的图象可能是下列四个图象中的_.,(3)二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则点P（ ） 所在的象限为_.,【解析】(1)为指数函数图象.为对数函数图象，中底数大于1，中底数大于0小于1.由题中对数函数底数大于1，知正确. (2)由g(x)=ax结合图象知a0且a1，故f(x)=ax图象为过原点且上升的直线，故不正确，再结合，分析01知，正确.,(3)由图象知，图象的对称轴x= 0,即 0，由f(0)=c知，抛物线与y轴的交
3、点 为（0,c）.c0， 0,故点P（a, ）在第二象限. 答案：(1) (2) (3)第二象限,2.函数图象间的变换 (1)平移变换,(2)对称变换 y= =_; y= =_; y= =_; y=ax(a0且a1) =_. (3)翻折变换 y= =_. y= =_.,-f(x),f(-x),-f(-x),logax（a0且a1）,|f(x)|,f(|x|),(4)伸缩变换 y= y=_. y= y=_.,f(ax),af(x),【即时应用】 (1)判断以下四个图象是否是函数f(x)=log22x与g(x)=21-x在同一坐标系下的大致图象.（请在括号中填写“是”或“否”）,(2)已知下图(1
4、)中的图象对应的函数为y=f(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是_. y=f(|x|)y=|f(x)| y=-f(|x|)y=f(-|x|),(3)若f(a+x)=f(b-x),xR恒成立，则函数y=f(x)的图象本身关于_对称. (4)若方程|ax|=x+a(a0)有两个解，则a的取值范围为_.,【解析】(1)f(x)=log22x=1+log2x. f(x)=log22x的图象是函数f(x)=log2x的图象向上平移1个单位 得到的； 又g(x)=21-x=( )x-1， g(x)=21-x的图象是函数g(x)=( )x的图象向右平移1个单位得 到的.因此是
5、，都不是. (2)从图象中可观察到：图(2)中的函数图象为一个偶函数的图象，排除， 又当x0时，图(1)与(2)中函数的图象一致，正确.,(3)由已知可得：关于直线x= 对称. (4)在同一坐标系中分别作出当01时，y=|ax|=a|x|(a0)与y=x+a(a0)的图象如图示，由图象得出 a1时符合要求. 答案：(1)否 否 是 否 (2) (3)直线x= (4)（1,+）,作函数的图象 【方法点睛】 作函数图象的方法 (1)直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分）时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线
6、的特征直接作出.,(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. (3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为： 第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围. 第二步：化简函数表达式.,第三步：讨论函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）. 第四步：列表（尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点）. 第五步：描点、连线. 【提醒】当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函
7、数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状.,【例1】作出下列函数的图象. (1)y=elnx; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=a|x|(0a1); (4)y= ; (5)y= . 【解题指南】对于(1)先求定义域，化简解析式，用直接法画图象；对于(2)、(3)和(4)可通过图象变换画出图象；对于（5）可借助于导数用描点法作出其大致图象.,【规范解答】(1)函数的定义域为x|x0且y=elnx=x（x0），其图象如图(1).,o,（1）,(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2
8、(x+1)|的图象，如图(2).,（2）,(3)方法一：y= 所以只需作出 函数y=ax(0a1)中x0的图象和y=( )x（0a1）中x0的图 象，合起来即得函数y=a|x|的图象.如图(3). 方法二：作出y=ax(0a1)的图象，去掉y轴左边图象，保留y轴 右边图象，并作关于y轴对称的图象，即得y=a|x|的图象，如图 (3).,(0,1),（3）,(4)y=2+ ，故函数图象可由y= 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4).,（4）,(5)y= x3-x2-3x,y=x2-2x-3.令y=0,得x1=-1，x2=3， 令y0，得单调增区间为（-,-1）和(3,+).令
9、y0,得单 调减区间为（-1，3），所以函数在x1=-1,x2=3处取得极值分别 为 和-9，由此可得其图象大致如图(5).,（5）,【反思感悟】要准确作出函数的大致图象，需做到： (1)熟练掌握六类基本初等函数的图象； (2)掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧.,【变式训练】分别画出下列函数的图象： (1)y=|lgx|； (2)y=2x+2； (3)y= ； (4)y=x2-2|x|-1,【解析】(1)y=|lgx|= 函数y=|lgx|的图象，如图(1)； (2)将函数y=2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y=2x+2的图象，如图(2)；,(3)y=
10、 ,可见原函数图象可由y= 图象向左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图(3).,(4)y= 且函数为偶函数，先用描点法作出0，+）上的图象，再根据对称性作出（-,0）上的图象.得图象如图(4).,识图与辨图 【方法点睛】 1.知图选式的方法 (1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域； (2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性； (3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性； (4)从图象的循环往复，观察函数的周期性. 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.,2.知式选图的方法 (1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置； (2)从函数的单调性
11、（有时可借助导数判断），判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的极值点判断函数图象的拐点. 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项.,【提醒】注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口,【例2】(1)(2012南阳模拟）函数y=x+cosx的大致图象是( ),(2)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在（-2，0）上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( ) (A)y=x2+1 (B)y=|x|+1 (C)y= (D)y=,【解题指南】(1)对函数求导，利用
12、排除法求解.(2)由f(x)的奇偶性作出其在（-2，0）上的图象.由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在（-2，0）上的单调性是否与f(x)在（-2，0）上的单调性不同，从而作出判断. 【规范解答】(1)选B. 由y=x+cosx,得y=1-sinx,令y=0,得sinx=1， x=2k+ (kZ)，即函数y=x+cosx有无穷多个极值点，从而排除C选项，又x=0时，y=1,即图象应过（0，1）点，再排除A，比较B、D与y轴交点纵坐标与 的大小知应选B.,(2)选C.由奇偶性知函数f(x)在（-2，0）上的图象如图所示： 则知f(x)在（-2，0）上为单调减函数， 而y=x2+1,y=|x
13、|+1和y= 作出其图象知在（-2，0） 上均为减函数. 又y=x3+1,x0， 故y=x3+1在（-2，0）上为增函数，与f(x)的单调性不同，故选C.,【反思感悟】识图与辨图是一个比较综合的问题.解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合.,【变式训练】(1)设ab时，y0，当xb时，y0.故选C.,(2)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是( ),【解析】选A.方法一：函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集（-,0）(0,+)，图象不经过坐标原点，故可以排除C、D.由于当
14、x为很小的正数时f(x)0且g(x)0，故f(x)g(x)0.故选A. 方法二：由函数f(x),g(x)的图象可知，f(x),g(x)分别是偶函数、奇函数，则f(x)g(x)是奇函数，可排除B，又函数y=f(x)g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集（-,0）(0,+)，图象不经过坐标原点，可以排除C、D，故选A.,函数图象的应用 【方法点睛】 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.,2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程
15、与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. 3.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.,【例3】已知函数f(x)=x|m-x|(xR)，且f(4)=0. (1)求实数m的值； (2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f(x)的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f(x)0的解集； (5)求集合M=m|使方程f(x)=m有三
16、个不相等的实根.,【解题指南】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题. 【规范解答】(1)f(4)=0，4|m-4|=0， 即m=4； (2)f(x)=x|m-x| =x|4-x|= 函数f(x)的图象如图： 由图象知f(x)有两个零点.,(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为2，4； (4)从图象上观察可知： 不等式f(x)0的解集为x|04. (5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点，则0m4, 集合M=m|0m4.,【互动探究】在本例的条件下，求f(x)在1，5上的值域. 【解析】f(5)=54,由图
