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1、河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 1 / 16 正方形 知识精讲 一正方形的定义 有一组邻边相等、一个内角是90的平行四边形叫做正方形 二正方形的性质 1正方形的四条边都相等，四个角都是直角； 2正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质 3正方形是轴对称图形，对称轴有4条 三正方形的判定 1有一组邻边相等的矩形是正方形； 2有一个角是直角的菱形是正方形； 3对角线互相垂直的矩形是正方形； 4对角线相等的菱形是正方形； 5对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形； 6四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形
2、四弦图模型 如图 1， RtDCERtCAF；如图 2，RtBAERt CBF 三点剖析 一考点 ：1正方形的性质；2正方形的判定；3弦图模型 二重难点 ：正方形性质的应用和判定；弦图模型 三易错点 ：正方形、矩形、菱形性质与判定的区别 例题讲解 一：性质 例 2.1.1 如图，在正方形ABCD中，点 F为 CD 上一点， BF 与 AC 交于点 E若 CBF=20 ，则 AED 等于度 F 图1 B E DC A 图2 F E D C B A 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 2 / 16 【答案】 65 【解析】 正方形
3、ABCD ， AB=AD ， BAE= DAE ， 在ABE 与ADE 中， ， ABE ADE （ SAS）， AEB= AED ，ABE= ADE ， CBF=20 ， ABE=70 ， AED= AEB=180 45 70 =65 ， 例 2.1.2 如图，正方形ABCD的对角线AC 与 BD 相交于点O， ACB的角平分线分别交AB、BD 于 M、N 两点，若AM=2，则正方形的边长为（） A4 B3 C2+ D 【答案】 C 【解析】过点M 作 MFAC于点 F，如图所示 MC 平分 ACB ，四边形ABCD 为正方形， CAB=45 ，FM=BM 在 RtAFM 中， AFM=90
4、 ，FAM=45 ，AM=2 ， FM=AM ?sin FAM= 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 3 / 16 AB=AM+MB=2+ 例 2.1.3 如图，点E 在正方形ABCD的对角线AC 上，且 EC=2AE ，直角三角形FEG的两直角边EF 、 EG 分别交BC、DC 于点M、N若正方形ABCD 的边长为a，则重叠部分四边形EMCN 的面积为 （） Aa 2 Ba 2 Ca 2 Da 2 【答案】 D 【解析】过E作 EP BC于点 P，EQCD于点 Q， 四边形 ABCD 是正方形， BCD=90 ， 又 EPM=
5、EQN=90 ， PEQ=90 ， PEM+ MEQ=90 ， 三角形 FEG 是直角三角形， NEF= NEQ+ MEQ=90 ， PEM= NEQ， AC 是 BCD 的角平分线，EPC=EQC=90 ， EP=EQ，四边形PCQE 是正方形， 在EPM 和EQN 中， ， EPM EQN （ASA ） SEQN=SEPM， 四边形 EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积， 正方形 ABCD 的边长为 a， AC=a， 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 4 / 16 EC=2AE ， EC=a， EP=PC=a， 正方
6、形 PCQE 的面积 =a a= a2， 四边形 EMCN 的面积 =a 2， 故选： D 例 2.1.4 如图，在边长为6 的正方形ABCD中， E 是边 CD 的中点，将 ADE沿 AE对折至 AFE ，延 长 EF交边 BC于点 G，连接 AG （1）求证： ABG AFG ； （2）求 BG 的长 【答案】（ 1）证明见解析；（2）2 【解析】（ 1）在正方形ABCD中， AD=AB=BC=CD ，D=B=BCD=90 ， 将 ADE 沿 AE 对折至 AFE， AD=AF ，DE=EF ，D=AFE=90 ， AB=AF ，B= AFG=90 ， 又AG=AG ， 在 RtABG 和
7、 RtAFG 中， ， ABG AFG （HL）； （2）ABG AFG， BG=FG ， 设 BG=FG=x ，则 GC=6x， E 为 CD 的中点， CE=EF=DE=3 ， EG=3+x， 在 RtCEG 中， 32+（6x） 2=（3+x）2，解得 x=2， BG=2 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 5 / 16 二：判定 例 2.2.1 已知四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC ， ABC=90 ， AC=BD ， AC BD 四个 条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法
8、，其中错误的是 （） A选B选C选D选 【答案】 B 【解析】本题考查了正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角 还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或 2 进行判定 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形 A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所 以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不 能得出平行四边形ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由得有一
9、组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平 行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所 以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意 故选： B 例 2.2.2 如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作MEAC，MFAD，垂足 分别为E、F （1）求证：CABDAB； （2）若 90CAD ，求证：四边形AEMF是正方形 【答案】见解析 【解析】（ 1）QAB是 CD 的垂直平分线，ACAD ， 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的
10、性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 6 / 16 又 ABCDQ CABDAB （2） 90MEACMFADCADQ， ， 即90CADAEMAFM，四边形 AEMF 是矩形， 又 CAB= DAB ，ME A C，MF AD ， MEMF， 矩形AEMF是正方形 例 2.2.3 如图， ABC中，已知 BAC=45 ， AD BC于 D，BD=2 ， DC=3 ，求 AD的长 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： （1）分别以AB 、AC为对称轴，画出ABD 、 ACD的轴对称图形，D 点的对称点为E、F，延长
11、EB 、 FC相交于 G点，证明四边形AEGF 是正方形； （2）设 AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值 【答案】（ 1）见解析（ 2）6 【解析】 （1）证明：由题意可得： ABD ABE ，ACD ACF （ 1 分） DAB= EAB ， DAC= FAC，又 BAC=45 EAF=90 （ 3 分） 又 AD BC， E=ADB=90 ， F=ADC=90 （ 4 分） 又 AE=AD ，AF=AD ， AE=AF （ 5 分） 四边形AEGF 是正方形（6 分） （2）设 AD=x ，则 AE=EG=GF=x ，（ 7 分） BD=2 ，DC=3 ， BE
12、=2，CF=3 BG=x-2 ，CG=x-3 （ 9 分） 在 RtBGC 中， BG2+CG 2=BC2 （ x-2） 2+（x-3）2=52（11 分）， （ x-2） 2+（x-3）2=52，化简得， x2-5x-6=0 解得 x1=6，x2=-1（舍）， 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 7 / 16 所以 AD=x=6 （12 分） 三：弦图 例 2.3.1 如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点B、D作 BF a 于点 F， DE a于点 E，若 DE=8 ，BF=5，则 EF的长为
13、_ 【答案】 13 【解析】本题考查了全等三角形的判定、正方形的性质实际上，此题就是将EF 的长度转化为与 已知长度的线段DE 和 BF 数量关系 根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得AFB AED ；然后由全等 三角形的对应边相等推知AF=DE 、BF=AE ，所以 EF=AF+AE=13 ABCD 是正方形（已知）， AB=AD ， ABC= BAD=90 ； 又 FAB+ FBA= FAB+ EAD=90 ， FBA= EAD （等量代换）； BFa 于点 F，DEa 于点 E， 在 RtAFB 和 RtAED 中， 90AFBDEA FBAEAD ABDA ，
14、AFB AED （ AAS）， AF=DE=8 ，BF=AE=5 （全等三角形的对应边相等）， EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13 故答案为： 13 例 2.3.2 如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作 1 l 2 l ，作BM1 l 于 M，DN 1 l 于 N， 直线MB、ND分别交 2 l 于Q、P求证：四边形PQMN是正方形 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 8 / 16 【答案】见解析 【解析】 1 l 2 l ，BM 1 l ，DN 2 l ， 90QMNPN， 四边形PQMN 为矩形， A
15、BAD，90MN 90ADNNAD，90NADBAM， ADNBAM， 又ADBA， Rt ABM RtDAN（HL ）， AMDN 同理 ANDP， AMANDNDP，即MNPN 四边形PQMN 是正方形 随堂练习 2.1 如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边ADE ，则 BED的度数是 _. 【答案】 45 【解析】四边形ABCD是正方形， AB=AD ， BAD=90 等边三角形ADE ， AD=AE ， DAE= AED=60 BAE= BAD+ DAE=90 +60 =150 ， AB=AE ， AEB= ABE= （ 180 BAE ） 2=15 ， BED=DAE AEB=60
16、 15 =45 . 2.2 如图，正方形纸片ABCD 的边长为3，点 E、F 分别在边BC 、CD上，将 AB 、 AD分别和 AE 、AF折 叠，点 B、D恰好都将在点G处，已知 BE=1 ，则 EF的长为 _ A 3 2 B 5 2 C 9 4 D3 【答案】 B 【解析】此题考查了折叠的性质、正方形的性质以及勾股定理此题难度适中，注意掌握数形结合 河北省廊坊市廊坊四中2018 年八年级下学期正方形的性质和判定讲义（含知识点、例题、练习题 和答案） 9 / 16 思想与方程思想的应用 正方形纸片ABCD 的边长为3， C=90 ，BC=CD=3 ， 根据折叠的性质得：EG=BE=1 ，GF=DF， 设 DF=x， 则 EF=EG+GF=1+x ，FC=DC-DF=3-x ， EC=BC-BE=3-1=2 ， 在 RtEFC 中， EF2=EC 2+FC2， 即（ x+1） 2=22+（3-x）2， 解得：
