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1、数学复习资料 编号：11-1第六模块：概率统计学科网概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算解答
2、概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法该部分在高考试卷中，一般是23个小题和一个解答题学科网概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等学科网题型一： 抽样方法学科网例题：在个有机会中奖的号码（编号为）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的88号
3、码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 （ ）学科网A简单随机抽样 B系统抽样 C 分层抽样 D以上均不对学科网分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样学科网解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：，答案B学科网注：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法（2） 系统抽样的步骤：将总体中的个体随机编号；将编号分段；在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；按事先研究的规则抽取样本（3）适用范围：个体数较多的总体学科网例题：（2008年高考广东卷理3）某校共有学生
4、名，各年级男、女生人数如表已知在全校学生中随机抽取名，抽到二年级女生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）学科网ABCD 学科网一年级二年级三年级女生男生学科网学科网 学科网分析：根据给出的概率先求出的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了学解析：C 二年级女生占全校学生总数的，即，这样一年级和二年级学生的总数是，三年级学生有人，用分层抽样抽取的三年级学生应是答案C学科网学科网例题：（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面
5、的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在月收入段应抽出 人学科网学科网分析：实际上是每人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可学科网解析：根据图可以看出月收入在的人数的频率是学科网，故月收入在人数是，故抽取人学科网题型二：统计图表问题学科网例题：（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报专业的人数为学科网学科网A B CD学科网解析：B 视力住以上的频率为，人数为学科网注：在解决频率分别直方图问题时容易出现的
6、错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距学科网例题：（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 学学科网解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数是学科网注：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点学科网例题：（2008高考广东文11）为了调查
7、某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了位工人某天生产该产品的数量产品数量的分组区间为， 由此得到频率分布直方图如图，则这名工人中一天生产该产品数量在 的人数是学科网学科网学科网解析： 学科网学科网题型三：平均数、标准差（方差）的计算问题学科网例题：（2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取人的成绩，统计如表，则这 人成绩的标准差为（ ）学科网学科网ABCD学科网分析：根据标准差的计算公式直接计算即可学科网解析： 平均数是，学科网标准差是学科网学科答案B学科网例题：（中山市高三级20082009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据的平均数，方差，则数据的平均 数为 ，方差为 解析：
8、学科网例题：（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为学科网A ，B， C ，D，学科网学科网解析：C学科网题型四： 用样本估计总体学科网例题：（2008高考湖南文12）从某地区位老人中随机抽取人，其生活能否自理的情况如下表所示：学科网学科网学科网学科网学科网 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人学科网解析： 由上表得学科网学科题型五：线性回归分析学科网例题：（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨
9、）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据学科网 （1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前吨甲产品能耗为吨标准煤；试根据（）求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？学科网分析：本题中散点图好作，本题的关键是求关于的线性回归方程，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决学科网解析：学科网（1）散点图如右；学科网（2）方法一：设线性回归方程为，则学科网学科网时， 取得最小值，学科网即，时取得最小值
10、学科网所以线性回归方程为学科网方法二：由系数公式可知，学科网，所以线性回归方程为学科网（3）时，所以预测生产吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低吨标准煤学科网点评：本题考查回归分析的基本思想求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对我们再按集项，即，而这个时候，当时有最小值，结合上面解法中时有最小值，组成方程组就可以解出，的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数，相关指数这说明，具有很强的线性相关性
11、，说明解释变量对预报变量的贡献率是，即耗煤量的是来自生产量，只有约来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了学科网例题：（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议现对他前次考试的数学成绩、物理成绩进行分析下面是该生次考试的成绩学科网数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；学科网（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到分，
12、请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议学科网分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决学科网解析：（1）； ； 学科网， 学科网从而，所以物理成绩更稳定 学科网（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到， 线性回归方程为当时，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高点评：考试大纲在必修部分的统计中明确指出“会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方
13、程”2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心题型六：古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投次，点数和为的概率 分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算解析：点数和为，即，基本事件的总数是，故这个概率是或是数形结合处理注：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算例12（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为的正方形内有一内切圆在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是 A B C D分析
14、：就是圆的面积和正方形面积的比值解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是，答案A点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查例13（2008高考山东文18）现有名奥运会志愿者，其中志愿者通晓日语，通晓俄语，通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各名，组 成一个小组（1）求被选中的概率；（2）求和不全被选中的概率分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决解析：（1）从人中选出日语、俄语和韩语志愿者各名，其一切可能的结果组成的基本事件空间，由个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用表示“恰被选中”这一事件，则， 事件由6个基本事件组成，因而（2）用
