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1、第五章 不定积分 教学安排说明章节题目：5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的性质5.3 换元积分法 5.4 分部积分法学时分配：共6学时。5.1 不定积分的概念 1学时5.2 不定积分的性质 1学时5.3 换元积分法 2学时 5.4 分部积分法 2学时本章教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和基本积分方法，熟练地利用换元积分法与分部积分法求不定积分。课 堂 教 学 方 案（一）课程名称：5.1 不定积分的概念；5.2 不定积分的性质授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解并掌握原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积
2、分的基本公式，了解不定积分的基本运算法则，能够用不定积分的基本公式和性质求不定积分教学重点、难点：教学重点：原函数和不定积分的概念,不定积分的性质及几何意义，不定积分的基本公式；教学难点：不定积分的概念及几何意义和用不定积分的性质求不定积分。教学内容5.1 不定积分的概念1.原函数与不定积分在微分学中，我们讨论了求已知函数的导数与微分的问题。但是，在科学、技术和经济的许多问题中，常常还需要解决相反的问题，也就是要由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数。这种由函数的已知导数（或微分）去求原来的函数的运算，称为不定积分，这是积分学的基本问题之一。定义1 如果函数与为定义在某同一区间内的函数,
3、并且处处都有 或, 则称是的一个原函数.根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数.如 ， 故是的一个原函数； ， 故也是的一个原函数；， 故是的一个原函数；， 故也是的一个原函数.由此可见,一个函数的原函数并不是唯一的.对此有以下两点需要说明：第一，若在某区间内为的一个原函数，即,则对任意常数, 由于,所以函数都是的原函数.这说明如果函数有原函数,那么它就有无限多个原函数.第二，若在某区间内为的一个原函数，那么，的其它原函数和有什么关系？设是在同一区间上的另一个原函数，即，于是有由于导数恒为零的函数必为常数，因此即这说明的任意两个原函数之间只差一个常数.因此,如果是的一个原函
4、数,则的全体原函数可以表示为 (其中为任意常数).为了更方便地表述一个函数的全体原函数,我们引入下面不定积分的概念.2.不定积分的概念定义2 函数在某区间内的全体原函数称为在该区间内的不定积分,记为 ，其中记号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量.即 .这说明,要计算函数的不定积分,只需求出它的一个原函数,再加上任意常数就可以了.例1 求的不定积分.解：因为,所以 例2 求的不定积分.解：因为,所以 3.不定积分学的几何意义 不定积分的几何意义:若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线.于是,的不定积分在几何上表示的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲
5、线族.若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行(如图-1),任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数.给定一个初始条件,就可以确定一个常数的值，因而就确定了一个原函数，于是就确定了一条积分曲线例3设曲线通过点,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程解：设所求的曲线方程为,按题设，曲线上任一点处的切线斜率为 说明是的一个原函数.因为的全体原函数为，所以曲线方程为,又由于曲线过点,故, 解得,于是所求曲线为 .例4 一物体作直线运动，速度为路程为3m，求物体的运动方程。 解：设物体的运动方程为依题意有所以 将 一般，若是函数的原函数，那么所表示的曲线称为的一
6、条积分曲线。不定积分在几何上表示由积分曲线沿轴方向上下平移而得到的一族曲线，称为积分曲线族。这就是不定积分的几何意义。课堂练习：填空 小结：本节讲述了原函数的概念，不定积分的概念，性质及几何意义。4.基本积分表及常用的积分公式第一节我们知道积分与微分互为逆运算，因此由第二章的导数的基本公式可以相应地写出不定积分的基本公式。列表如下：（1） (是常数)；（2） ；（3）；（4） ；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；以上13个基本积分公式是求不定积分的基础,若能熟记,则对不定积分的运算会起到关键性的作用.以上11个公式是求不定积分的基础，必须熟记。例5
7、求下列不定积分：（1） （2） （3） 解：(1) (2) (3) 5.2 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到其如下性质：性质1 两个函数之和(差)的不定积分等于这两个函数的不定积分之和(差),即.证明：根据导数的运算法则，因此是的原函数,而且上式含有不定积分记号,因此已经含有任意常数,故上式即为的不定积分.证毕.类似可证明如下性质.性质2 不为零的常数因子可以移到积分号前 例1 求不定积分解：.例2 求解：=例3 求不定积分.解：.例4 求不定积分.解：.注意：在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数的和仍是常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可。例5 求解：
8、例6求 解：上面例题都是属于基本积分法的应用，就是利用基本积分公式和积分运算法则直接求不定积分.但有时并不是被积函数直接就符合基本积分公式，需要对被积函数作适当的恒等变换. 如用代数运算或三角关系等对被积函数进行变形，是变形后的被积函数能直接使用基本公式和运算法则求出不定积分.例7求解：例8 求不定积分.解：.例9求不定积分.解：.例10 求不定积分.解：由于 ，所以小结：本节讲述了不定积分的基本公式和基本运算法则，以及利用直接积分法求函数的积分方法。 作业：P151 1；3（1）（4）（6）（7）（10）（11）课 堂 教 学 方 案（二）课程名称：5.3换元积分法授课时数：2学时授课类型:
9、理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二类换元积分法与第一类换元积分法之间的区别；了解第二类换元积分法适用的函数类型教学重点、难点：教学重点：第一类换元积分法和第二类换元积分法；教学难点：第一类换元积分法中中间变量的选取，灵活地运用微分公式凑微分第二类换元积分法中适当选取单调连续函数，将积分化为积分，求出结果。教学内容5.3 换元积分法有时仅仅依靠不定积分的性质和基本积分表来计算不定积分是非常有限的,因此有必要讨论求不定积分的一种重要方法,其实质是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分,也就是利用变量代换来求不定积
10、分,这种方法称为换元积分法.按照换元方式的不同,通常把换元法分为两类.1不定积分的第一类换元法(凑微分法)例1 求不定积分分析 基本积分公式表中没有与该积分一致的公式,因此该积分不能直接由积分公式与不定积分的性质求得.但注意到是复合函数,且,于是可做如下的变换和计算:解 (令), (将回代),由,验证上述积分结果正确.一般地，对于积分，总可以作变换，把它化为 .一般地,有:定理1 若且可导,则定理1表明,在基本积分公式中,将换成任一可导函数后公式仍然成立,从而扩充了基本积分公式的使用范围.定理中的结论可表示为即 由此得到如下求不定积分的步骤,即（凑微分） （令） （积分公式） （将回代）.上述
11、方法称为第一类换元法或凑微分法.注意：如果中间换了元，积分完了后，一定要回代，即将积分后的函数中的变量换成；如果熟练过后，可以不要换元这步，就将当作一个变量来积分即可，最后也不需要回代了。例2 求不定积分.解：利用凑微分方法,此时（凑微分） (换元,令) (将回代). 例3 求解： 例4求解：=例5求 解：例6 求不定积分.解： (凑微分公式) (令) (将回代).注: 一般情形有当运算熟练后,可以不把换元和回代过程写出来,而是直接计算下去.例7 求不定积分解：依据不定积分的第一类换元法，有，所以例8 求不定积分.解： 例9 求 解：= =例10 求 解：例11 求 解：例12 求不定积分.解
12、：同理例13 求不定积分.解：方法一 ； 方法二 ； 方法三 .在此例中三种方法得到的结果并不一样,这说明不定积分的结果不是唯一的,采用不同的方法,可以出现不同形式的结果.但不同形式的结果,他们之间只相差一个常数.例14 求不定积分.解： .同理 例15 求不定积分解：依据不定积分的第一类换元法，有，即例16求不定积分解：凑微分，有第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法,不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循,只能具体问题具体分析.要掌握好这种方法,需要熟记一些函数的微分公式,并善于根据这些微分公式对被积表达式做适当的微分变形.下面是部分经常使用凑微分法的积分类型及其凑微分的方法:（1）
13、；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）2第二类换元积分法第一类换元积分法是先凑微分,再用新变量代替,但是有些不定积分需要作相反方式的换元,即令,把作为新的积分变量,从而简化积分计算,最后再将回代.例17 求不定积分解：令 即 ，此时，于是再将 回代,整理后得一般地,定理2（第二类换元积分法） 设函数在某区间上连续,又在对应的区间上的导数连续,且，则有换元公式，其中是的反函数.对于被积函数中含有的不定积分,可令,即作变换, ,以简化计算. 例18 求解：令 =例19 求不定积分解：令则例20 求不定积分解：令,则，于是有再将回代,得如果被积函数中含有二次根式,时,通常采用三角函数换元的方法去掉根号:含时,设;含时,设;含时,设.例21 求不定积分.解：令, ,于是 再由,得,将其回代上式,得, 例22 求解：令于是，根据知，因此 = =（其中C=）例23 求不定积分解：，令, 则有，再将回代,得到，其中例24 求不定积分解：令，则有
