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1、函数作图软件的评价和选择张景中 彭翕成1选择软件很重要在中学特别是高中课程中，涉及函数作图的内容很多用计算机作函数图象，不但快捷精确美观，而且具有很强的交互性，能够产生种种动态效果；如果使用得当，有助于减轻教师负担，提高学生兴趣，帮助学生理解数学概念，开阔思路，培育探索精神。近年来，有关使用计算机软件作函数图象的文章屡见不鲜，所涉及的软件五花八门有动画软件 Flash1-3，课件制作平台 Authowarec4-8，常用程序语言 VB10-11，儿童学习编程语言 LOGO12，文稿演示软件 PPT13，数学软件如Matlab、 Mathematica、Maple14 ，统计图表软件 Excel
2、15-19，面向数学教学的动态几何软件几何画板20-21和基于动态几何的多功能教学软件超级画板22-26 等等。此外，还有些作者推荐用图形计算器27-30；在网上也能搜索到大量的以函数作图为主要功能的免费或共享软件。这些文章有的涉及教学设计，有的讲解具体操作，有的论述教育价值但具体说来，常常是根据其作者的实际体验，推荐一种软件作为函数作图的工具至于为何推荐某种软件，作者总说是功能强大，容易学习，使用方便至于强大的功能具体在何处，是不是教学上要用的；容易学习和使用到什么程度，如何界定和比较，则避而不谈，语焉不详有些文章标题说的是“轻轻松松”画某种函数图象，实际上所介绍的方法非常繁琐原因可能是文章
3、的作者对函数作图软件知之甚少只是说说自己的体会而已。常有老师看了这些文章后莫衷一是，就问：究竟用哪种软件来画函数图象最好?有一种意见认为，各种软件都差不多，软件的选择应当多样化这是不了解实际情况的说法不同的软件差别可以很大有些软件虽然有函数作图的功能，但主要不是为中学教学而设计的，很多教学上的需求它不予支持，花时间精力学了，后来又发现不够用，再换另一种软件，就很不合算至于学习软件的时间精力投入，以及作图操作的效率，不同的软件差别很大函数作图是经常要用的，选择软件不恰当，将导致成倍甚至几十倍的时间和精力的浪费，影响教与学的效率和效果就上面所提到的种种方案中，多数老师看到有关 Flash，Auth
4、oware ，VB，LOGO 以及PPT 等操作较复杂的软件的文章后，一般就知难而退，不会选择这些软件来画函数图象。当然，如果是特别想学习这些软件，又当别论这些软件各有自己的长处但不擅长画函数图象用于函数图象的教学和学习活动，费时费力。至于图形计算器，在没有条件使用计算机时，不失为一种选择。有条件使用计算机，还是用计算机效果好得多。比起图形计算器来，计算机操作方便，图形细致美观，还有种种扩展功能。只是一定要有合适的软件否则就反而不如图形计算器了。下面，结合上文提及的几种软件(数学软件如 Matlab 等，统计图表软件 Excel，动态几何软件几何画板和基于动态几何的多功能教学软件超级画板)，讨
5、论一下选择函数作图软件的要点2选择函数作图软件的要点许多文章都提到了选择软件的理由例如，文17推荐用 Excel 作为辅助函数图象的教学工具，就列举了 5 条理由。这 5 条理由是：(1)软件的普及性高； (2)入门操作容易；(3)同步性好；(4)省时省力；(5) 功能强大。这些理由已经相当全面，足以作为评价和选择函数作图软件甚至一般教学软件的基本纲领但为了便于将几种软件作具体的对比，有必要将这5 个条件归类和细化。 这 5 条中实际上包含了 3 个方面的要求：一是要求软件容易得到，容易安装容易得到的最高标准是免费下载或复制，容易安装的最高标准是即插即用这样要求比“普及性高”更具体。普及性高当
6、然好，但是也要看是如何普及。如果是合法正版，或开发商支持教育，免费复制，当然欢迎。如果是因非法复制而普及，则不宜提倡。使用盗版是有风险的。既有法律上的风险，也有道德上的风险，对学生的思想品德有潜移默化的腐蚀作用。再者是要求软件易学易用这包含了 5 条中的入门操作容易和省时省力两条。易学易用的通俗说法就是傻瓜化，要画函数图象，输入函数表达式，自变量区间，以及样本点的个数就够了(或者更简便：只输入表达式，另外两项缺省，必要时由用户修改) 。如果表达式中含有字母参数，仍照数学表达式的习惯输入就是，计算机见到命令就作图，如果不仅要画图还要作函数表，就用作表的命令如果要连续改变参数观察图形的动态变化，再
7、输入一个命令即可。这叫傻瓜化但是，傻瓜化也要用不同命令告诉计算机不同的操作，命令多了就不便记忆，最好是把命令和自然语言联系起来，利用联想的办法来掌握命令。要作函数表就用命令 hsb，要作变量尺就用命令 blc，如果对应的汉字多了，还可以用前 2 后1 等规则，例如作参数方程曲线就用命令 CSX，这叫联想化。考虑到用户习惯不同，同一件事由于教学要求不同也许要用不同的模式，有时用菜单，有时用对话框，有时用文本命令等，所以应当有多种模式供用户选择，即多样化。所以，易学易用可以具体落实到操作傻瓜化，命令联想化和模式多样化其中最基本的要求是操作傻瓜化。重要的是软件的功能要够用，5 条中的同步性好也是功能
8、问题。其实只要能够随需应变，要同步就同步，要异步就异步，要单步就单步，教学的需求可以充分满足就好函数图象的教学几乎贯穿高中 3 年，有许多需求，不仅仅是列表描点连线。例如，在函数曲线上作动点，从动点向两坐标轴作垂足，拖动动点观察自变量的变化和函数值的变化的联系；作出含参数的函数图象，让参数连续变化，跟踪函数图象对函数族进行观察：利用函数曲线上的两个动点动态地呈现二分法计算零点的过程；对函数曲线作平移、反射和放缩等变化，以观察一个函数如何连续地转化为另一个函数；过曲线上一点作切线，观察切线斜率的符号和函数增减性的关系；对曲线形成的曲边梯形作积分分割，计算积分和观察它趋向于定积分的过程；为了让学生
9、自主探索，还应当有动态测量功能，能够实时测量出点的坐标，直线的斜率等等即使是列表描点连线，也可能有更多的需求，例如让样本点的个数由少到多变化，考察所画曲线的准确程度和样本点个数的关系。总之，对教学中可能出现的与信息技术有关的创意，应当力求支持。软件应当服务于教学的需求，而不应让教师学生适应软件的已有的功能。有些看来是细节，但却反映了软件是否服务于教学需求的问题。例如，用 Excel 作函数表时，函数表达式中的自变量 x 要用 A1 代替，参数也不能原样输入。对编程人员来说，直接根据数学表达式列表作图是很容易的事，为何不让老师学生更方便一些呢?为了清楚简便，下面笔者用表格的方式，将对上述几种软件
10、的有关函数图象教学的功能的考察结果列出。对每个功能的实现，分为容易、能够和困难三个等级。这几种软件的扩展能力都很强，理论上能实现的功能很多这里所谓困难，是说非常繁琐或笔者还不知道如何实现；所谓能够，是指可以组合软件的几个操作步骤来实现；所谓容易，是指简单的一两步就能傻瓜式的实现。Excel 常用数学软件 几何画板 超级画板免费板是否免费 否 Maxima 免费 否 是能否即插即用 否 不详 能 能列函数表 容易 能够 能够 容易画函数图象 容易 容易 容易 容易描点数目动态变化 困难 困难 困难 容易带参数动态曲线作图 能够 能够 容易 容易函数曲线上作动点 困难 困难 容易 容易对曲线跟踪
11、困难 困难 容易 容易对曲线作几何变换 困难 不详 能够 容易曲线上作动态切线 困难 困难 能够 容易曲边梯形积分分割 困难 不详 能够 容易几何量的动态测量 困难 困难 容易 容易表中最后一行“几何量的动态测量” ，主要指测量点的坐标和直线的斜率。表中第一行“常用数学软件” ，包括 Matlab、Maple、Mathematica 和 Maxima 这类软件的操作方式大同小异，函数命令极为丰富，笔者未能充分了解，因此表中有些项就填上“不详” 。从表上看出，选择有关函数图象的教学辅助软件，首选我国自主开发的超级画板已经会用几何画板的老师，继续使用它也是一种选择若想更为省时省力，不妨试一试超级画
12、板 至于 Ecccel，本不是为教学设计的，用起来事倍功半，不少要做的事难以入手看了上表，会不会有读者认为制表人对超级画板有偏爱之嫌呢?用它实现表中的功能就都那么容易?容易到什么程度?让我们来具体了解一下吧。3用超级画板辅助有关函数图象的教学用超级画板画函数图象或造函数表，实现的方法有好几种23-26，31-32 。下面说的方法不同于前述文献，这里操作更加简单，适合初学者使用。超级画板免费版本的不少操作，要用文本命令执行。为了容易记忆命令，软件特别配备了一个可以免费下载的“方便空白页面”文档(由教育部教育信息技术工程研究中心开发，目前仍在进一步扩展之中)，文件名取简称为“方便面zjz ”。该文
13、档有 10 个空页面可供使用，其程序区支持 80 多个简单而容易记忆的命令。命令的构造规律如下：汉字命令不超过 3 个字时，取拼音的第一个字母组成英文命令。例如：函数表就是hsb，旋转就是 xz，平移就是 py汉字命令长度超过 3 个字时，取前面 2 个字和最后一个字的拼音的第一个字母组成英文命令。例如：函数曲线就是 hsx，极坐标曲线就是 jzx，圆内接正 n 边形就是 ynx，等等。这样很快就可以记着命令。少数命令要用 4 个或更多的字母。例如，作圆锥曲线的切线的命令是 yzqx；测量点的工坐标的命令是 cxzb；等等。存盘时用“另存为”命令，把文件名从“方便面”改为自己需要的名字。以下举
14、例说明有关函数图象的功能在方便空白页面上的操作方法若不用“方便空白页面” ，操作也很简单，只是命令用英语单词，查找记忆略为费事，但比起用其它软件仍然快捷得多。以下按上面比较表中提到的功能顺序说明：31列函数表描点连线命令格式为hsb(A ，a，b，n)；” ，这里 A 是函数表达式，表达式中默认 x 是自变量，a 和 b 是自变量的最小和最大值， ”是样本点的个数。例如，要列出正弦函数在区间0，2 上15 个点处的函数表并且描点画曲线，只要在左方程序区输入或粘贴下列命令(注意，在英文状态下输入)：“hsb(sin(x)，0，2*pi，15)；” ，再把光标放在命令最后的分号后面，按Ctrl+E
15、nter 键，屏幕上的作图区就会出现函数表和对应的散点图。还有一个动画按钮用鼠标把函数表和按钮分别拖到适当位置，单击动画按钮，就可以看到动态的画线过程(图 1)如果不想描点画线，只要造表，可用命令“hsbl(sin(x)，0，2*pi，15)；”代替上述命令造表后若要显示曲线，可以在左下部单击“对象”按钮从程序区切换到对象区(图 2)，然后在对象区勾选曲线对象(图 3)即可。如果还要显示出样本点，可以将鼠标指着曲线单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性” ，打开曲线的属性对话框(图 4)，在对话框左下部勾选 “画点” ；若要改变样本点的个数，可在对话框右部改写曲线的点数；最后单击确定即可。如
16、图 4 所示，我们还可以修改函数的表达式，x 的变化范围等等。软件的这种设计，非常有利于探究性研究。改变曲线的点数之后，表格的大小可能不够用，我们可以改变表格的行列数将鼠标指着表格单击右键打开右键菜单，在菜单中单击“属性” ，打开表格的属性对话框(图 5)，在对话框左下部可以修改其行列数还可以双击表格第一行的文本“y” ，将它改为 sin(x)。32 函数曲线作图如果只要作函数曲线，不要函数表，可以在“方便面zjz”文档的程序区简单地使用命令“hsx(A) ；” ，A 是函数表达式。自变量范围默认为-10，10 ，样本点个数默认为100，这些参数可以用上面所说的方法在图 4 所示对话框里修改。例如，要画函数 y=（1+x）/（1+x）尚的图象，可在程序区输入： “hsx(1+x)(1+x2)；” ，再把光标放在命令最后的分号后面，按 Ctrl
