886编号高中数学-平面向量专题

《886编号高中数学-平面向量专题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《886编号高中数学-平面向量专题（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 - 1 第一部分：平面向量的概念及线性运算 一.基础知识 自主学习 1向量的有关概念向量的有关概念 名称名称定义定义备注备注 向量向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量 的 (或称 ) 平面向量是自由向量 零向量零向量长度为 的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量单位向量 长度等于 的 向量 非零向量 a 的单位向量为 a |a| 平行向量平行向量方向 或 的非零向量 共线向量共线向量 的非零向量又叫做共线向量 0 与任一向量 或共线 相等向量相等向量长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等， 不能比 较大小 相反向量相反向量长度 且方向 的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运

2、算向量的线性运算 向量运算向量运算定义定义 法则法则(或几何或几何 意义意义) 运算律运算律 加法加法求两个向量和的运算 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab)ca(bc) 减法减法 求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做a与b的 差 法则 aba(b) 数乘数乘 求实数与向量a的积的 运算 (1)|a|a|. (2)当 0 时，a 的方向与 a 的方 向 ； 当b； (2)若|a|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|b|，且 a 与 b 方向相同，则 ab； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量 a 与向量

3、b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反； (6)若向量与向量是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上；AB CD (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算 例 2如图，以向量a，b 为边作OADB，用 a、b 表示、.OA OB BM 1 3BC CN 1 3CD OM ON MN - 3 变式训练 2 ABC 中，DEBC 交 AC 于 E，BC 边上的中线 AM 交 DE 于 N.设a，b，用 a、bAD 2 3AB AB AC 表示向量、 、.AE BC DE DN AM

4、 AN 题型三平面向量的共线问题题型三平面向量的共线问题 例 3设 e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2.AB CB CD (1)求证：A、B、D 三点共线； (2)若3e1ke2，且 B、D、F 三点共线，求 k 的值BF 变式训练 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A、B、D 三点共线；AB BC CD (2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 五思想与方法 5用方程思想解决平面向量的线性运算问题 试题：如图所示，在ABO 中，AD 与 BC 相交于点 M，设a，b.试用 a 和 bOC 1 4OA

5、OD 1 2OB OA OB 表示向量.OM 六思想方法 感悟提高 方法与技巧 1将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础 2 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题 如且AB与CD不共线， 则ABCD； 若， 则A、 B、 CAB CD AB BC 三点共线 失误与防范 1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量 是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 - 4 七课后练习 1给出下列命题： 两个具有公共终点的向量

6、，一定是共线向量； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； a0 ( 为实数)，则 必为零； ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线 其中错误命题的个数为() A1B2 C3D4 2 若 A、 B、 C、 D 是平面内任意四点，给出下列式子 ：； =； ABCD BCDA ACBD ADBC ACBD +.其中正确的有()DC AB A0 个 B1 个C2 个 D3 个 3. 已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足=0，则等于()CBAC 2OC A. B.2OA2OB OAOB C. D.OA 3 21 3OB OA 3 1 2 3OB 4.如图所示，在

7、ABC 中，3，若a，b，则等于BD 1 2DC AE ED ABACBE () A. a b B a b 1 3 1 3 1 2 1 4 C. a b D a b 1 2 1 4 1 3 1 3 5. 在四边形 ABCD 中，a2b,4ab，5a3b，则四边形 ABCD 的形状是()ABBCCD A矩形 B平行四边形 C梯形 D以上都不对 6. 8，5，则的取值范围是_AB AC BC 7给出下列命题： 向量的长度与向量的长度与向量的长度相等；ABBA BA 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量，一定是

8、共线向量； 向量与向量与向量是共线向量，则点 A、B、C、D 必在同一条直线上ABCD CD 其中不正确的个数为_ 8.如 图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N.若m，ABAM n，则 mn 的值为_ACAN 9设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与(b2a)共线，则 _. 10.在正六边形 ABCDEF 中，a，b，求，.ABAF ADAC,AE 11.如图所示，ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN2NC，AM 与 BN 相交于点 P，求 APPM 的值 - 5 12.已知点 G

9、 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点. （1）求；GAGB GO (2)若 PQ 过ABO 的重心 G,且a, b，ma，nb，求证： 3.AOOB OP OQ 1 m 1 n 第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示 一基础知识 自主学习 1两个向量的夹角两个向量的夹角 定义范围 已知两个 向量 a， b， 作a，b， 则AOBOA OB 叫做向量 a 与 b 的夹角(如图) 向量夹角 的范围是 , 当 时,两向量共线， 当 时，两向量垂直，记作 ab. 2.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这

10、一平面内的任意向量 a， 一对实数 1，2， 使 a .其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 (2)平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解 (3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使 axiyj，这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定， 把有序数对 叫做向量 a 的坐标，记作 a ，其中 叫做 a 在 x 轴上的坐标， 叫做 a 在 y 轴上的坐标 设xiyj，则向量

11、的坐标(x，y)就是 的坐标，即若(x，y)，则 A 点坐标为 ，反之亦成OA OA OA 立(O 是坐标原点) 3平面向量坐标运算平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab ，ab ， a ，|a| . (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，| .AB AB 4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.ab . 二难点正本疑点清源 1基底的不唯一性 只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底

12、，对基底的选取不唯一，平面内任意向量 a 都可被这个平面的 一组基底 e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的 2向量坐标与点的坐标的区别 - 6 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐OA 标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点 A(x，y)，向量 a(x，y)OA 当平面向量平行移动到时， 向量不变即(x， y),但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化OA O1A1 O1A1 OA O1A1 三基础自测 1已知向量 a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，则 m_. 2已知向量

13、 a(1,2)，b(3,2)，若 kab 与 b 平行，则 k_. 3设向量 a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)若表示向量 4a、4b2c、2(ac)、d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，则向量 d_. 4已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点 D 的坐标为 ( )BC AD A. B. (2， 7 2) (2， 1 2) C(3,2) D(1,3) 5已知平面向量 a(x,1)，b(x，x2)，则向量 ab() A平行于 y 轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于 x 轴 D平行于第二、四象限的角平分线 四题型分类 深度剖析 题

14、型一平面向量基本定理的应用题型一平面向量基本定理的应用 例 1如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知c，d，试用 c，d 表示，.AM AN AB AD 变式训练 1 如图， P 是ABC 内一点， 且满足条件230， 设 Q 为 CP 的延长线与 AB 的交点， 令p，AP BP CP CP 试用 p 表示.CQ 题型二向量坐标的基本运算题型二向量坐标的基本运算 例 2已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，AB BC CA CM CN - 7 (1)求 3ab3c；(2)求满足 ambnc 的实数 m，n；(3)求 M、N 的坐标及向量的坐标MN 变式训练 2 (1)已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(2，4)、B(0，6)、C(8,10)，求向量2的坐标；AB BC 1 2AC (2)已知 a(2,1)，b(3,4)，求：3a4b；a3b； a b.