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1、数和数的运算数和数的运算 一一 概念概念 (一)整数(一)整数 1 整数的意义 自然数和 0 都是整数。 整数分为正整数和负整数。 整数的个数是无限的,没有最小的整数,也没有最大的整数。 2 自然数 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的 1,2,3叫做自然数。 一个物体也没有,用 0 表示。0 也是自然数。 3 正数和负数 描述具有相反意义的量,可以用正、负数。 0 既不是正数,也不是负数。 4 计数单位 一(个) 、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计数法。 5 数的整除 整数 a 除以整数 b(b 0) ,除
2、得的商是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除,或 者说 b 能整除 a 。 如果数 a 能被数 b(b 0) 整除, a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的约数 (或 a 的因数) 。 倍数和约数是相互依存的。 例如:因为 35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍数,7 是 35 的约数。 一个数的约数的个数是有限的, 其中最小的约数是 1, 最大的约数是它本身。 例如 : 10 的约数有 1、2、5、10,其中最小的约数是 1,最大的约数是 10。 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。3 的倍数有:3、6、9、 12其中最小的倍数是 3 ,没有最大的倍数。
3、 个位上是 0、2、4、6、8 的数,都能被 2 整除, 例如:202、480、304,都能被 2 整除。 。 个位上是 0 或 5 的数,都能被 5 整除, 例如:5、30、405 都能被 5 整除。 。 一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除, 例如:12、108、204 都能被 3 整除。 一个数的末两位数能被 4(或 25)整除,这个数就能被 4(或 25)整除。 例如:16、404、1256 都能被 4 整除,50、325、500、1675 都能被 25 整除。 一个数的末三位数能被 8(或 125)整除,这个数就能被 8(或 125)整除。 例如:1168、4
4、600、12344 都能被 8 整除,1125、13375、5000 都能被 125 整除。 奇数与偶数 能被 2 整除的数叫做偶数。 不能被 2 整除的数叫做奇数。 0 也是偶数。 自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。 质数与合数 一个数,如果只有 1 和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数) , 100 以内的质数有 : 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、73、79、83、89、97。 一个数,如果除了 1 和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数, 例如 4、
5、6、8、9、12 都是合数。 1 不是质数也不是合数,自然数除了 1 外,不是质数就是合数。 如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和 1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫 做这个合数的质因数,例如 15=35,3 和 5 叫做 15 的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数的最 大公约数, 例如 12 的约数有 1、 2、 3、 4、 6、 12; 18 的约数有 1、 2、 3、 6、 9、 18。 其中, 1、 2、 3、 6 是 12
6、 和 1 8 的公约数,6 是它们的最大公约数。 公约数只有 1 的两个数,叫做互质数。其中: 1 和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。 (即质数与合数之间有可能 互质,也可能不互质) 两个合数的公约数只有 1 时, 这两个合数互质。 (即两个有可能互质, 也可能不互 质) 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最 小公倍数, 例如:2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 其中 6、12、18是 2、3 的公倍数,6 是
7、它们的最小公倍数。 如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。 (二)小数(二)小数 1 小数的意义 把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份 得到的十分之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几 小数的性质:小数的末尾添上“0”或去掉“0” ,小数的大小不变。 2循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫 做循环小数。 例如: 3.55
8、5 0.0333 12.109109 (三)分数 1 分数的意义 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位分数单位。 2 分数的基本性质 分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数(0 除外除外) ,分数的大小不变。 运用分数的基本性质可以进行通分或约分。 (四)百分数 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。 百分数通常用%来表示。百分号是表示百分数的符号。 二二 方法方法 (一)数的读法和写法(一)数的读法和写法 1. 整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时
9、,先按照个级的读法去读, 再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的 0 都不读出来,其它数位连续有几个 0 都 只读一个零。 2. 整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个 数位上写 0。 3. 小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点” ,小数部分 从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角, 小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 5. 分数的读法:读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读 法来读。 6. 分数的写法:先写分数线
10、,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。 7. 百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读 法来读。 8. 百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来 表示。 (二)数的改写(二)数的改写 一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有 时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。 1. 准确数:准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位 的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写
11、成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数:近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个 近似数来表示。 例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法:四舍五入法:要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小,就把尾数去掉;如果尾数 的最高位上的数是 5 或者比 5 大,就把尾数舍去,并向它的前一位进 1。 例如:省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 4. 大小比较大小比较 (1). 比较整数大小 : 比较整数的大小, 位数多的那个数就大, 如果
12、位数相同, 就看最高位, 最高位上的数大,那个数就大 ; 最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就 大。 (2). 比较小数的大小:先看它们的整数部分, ,整数部分大的那个数就大;整数部分相同 的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就 大 (3). 比较分数的大小比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的 分数大。分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。 (三)数的互化(三)数的互化 1. 小数化成分数:原来有几位小数,就在 1 的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小 数点作分子,能约分的要约分
13、。 2. 分数化成小数:用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成 有限小数的,一般保留三位小数。 3. 一个最简分数,如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成 有限小数;如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化 成百分数。 7. 百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分
14、的要约成最简分数。 (四)数的整除(四)数的整除 1. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商 是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公约数的方法求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商 只有公约数 1 为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一 直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的 最小公倍数。 4. 成为互质关系的两
15、个数:1 和任何自然数互质 ; 相邻的两个自然数互质; 当合数不 是质数的倍数时, 这个合数和这个质数互质 ; 两个合数的公约数只有1时, 这两个合数互质。 (五)(五) 约分和通分约分和通分 约分的方法:约分的方法:用分子和分母的公约数(1 除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简 分数为止。 通分的方法通分的方法 : 先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小 公倍数作分母的分数。 三三 性质和规律性质和规律 (一)商不变的规律 商不变的规律商不变的规律:在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。 (二)小数的性质 小数的性质:小数的性质:在小数的末
16、尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 (三)小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动小数点向右移动一位,原来的数就扩大 10 倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩 大 100 倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大 1000 倍 2. 小数点向左移动小数点向左移动一位,原来的数就缩小 10 倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩 小 100 倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小 1000 倍 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0补足位。 (四)分数的基本性质 分数的基本性质:分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外) ,分数的大小 不变。 (五)分数与除法的关系 1. 被除数除数= 被除数/除数 2. 因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。 3. 被除数相当