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1、高考导数讲义一：零点问题例1、设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I）由，得因为，所以曲线在点处的切线方程为（II）当时，所以令，得，解得或与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，使得由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点（III）当时，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点当时，只有一个零点，记作当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增所以不可能有三个不同零点综上所述，若函数有三个不同零点，则必有故是有三个不同零点的必要条件当，时，只有两个不同点， 所以不是有
2、三个不同零点的充分条件因此是有三个不同零点的必要而不充分条件例2.设函数，（I）求的单调区间和极值；（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点【答案】（I）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（II）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I）先对求导，令解出，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当时，函数取得极小值，同时也是最小值；（II）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面
3、再分情况分析函数有几个零点.试题解析：（）由，（）得.由解得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（）由（）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，所以在区间上仅有一个零点.综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题利用导数求函数的单调性与极值的步骤：确定函数的定义域；对求
4、导；求方程的所有实数根；列表格证明函数仅有一个零点的步骤：用零点存在性定理证明函数零点的存在性；用函数的单调性证明函数零点的唯一性例3.设函数.（I）讨论的导函数的零点的个数；（II）证明：当时.【答案】（I）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（II）见解析【解析】试题分析：（I）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II）由（I）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.试题解析：（I）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，
5、存在唯一零点.（II）由（I），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.【名师点睛】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.例4.设函数.（1）当时，求函数在上的最小
6、值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】(1)将函数进行配方，利用对称轴与给定区间的位置关系，通过分类讨论确定函数在给定上的最小值，并用分段函数的形式进行表示；(2)设定函数的零点，根据条件表示两个零点之间的不等关系，通过分类讨论，分别确定参数的取值情况，利用并集原理得到参数的取值范围.试题解析：(1)当时，故其对称轴为.当时，.当时，.当时，.综上，(2)设为方程的解，且，则.由于，因此.当时，由于和，所以.当时，由于和，所以.综上可知，的取值范围是.【考点定位】1.函数的单调性与最值；2.分段函数；3.不等式性质；4.分类讨论思想.【名师点睛】本
7、题主要考查函数的单调性与最值，函数零点问题.利用函数的单调性以及二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，利用分类讨论思想确定在各种情况下函数的最小值情况，最后用分段函数的形式进行表示；利用函数与方程思想，确定零点与系数之间的关系，利用其范围，通过分类讨论确定参数b 的取值范围.本题属于中等题，主要考查学生应用函数性质解决有关函数应用的能力，考查学生对数形结合数学、分类讨论思想以及函数与方程思想的应用能力，考查学生基本的运算能力.例5、已知函数fx=x-2ex+a(x-1)2.(I)讨论f(x)的单调性；(II)若f(x)有两个零点，求的取值范围.【解析】（）（ i ）当时，则当时，；当时，故函数
8、在单调递减，在单调递增（ ii ）当时，由，解得：或若，即，则，故在单调递增若，即，则当时，；当时，故函数在，单调递增；在单调递减若，即，则当时，；当时，；故函数在，单调递增；在单调递减（）（i）当时，由（）知，函数在单调递减，在单调递增又，取实数满足且，则有两个零点（ii）若，则，故只有一个零点（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时，故不存在两个零点；当，则函数在单调递增；在单调递减又当时，故不存在两个零点综上所述，的取值范围是例6.设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）
9、当时，有一个零点；当时，有两个零点【解析】试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数试题解析：（1），因为，所以，当时，显然成立；当，则有，所以.所以.综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上所述，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，
10、所以与在无交点.当时，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.(ii)当时，当时， ，而在上单调递增，当时，.下面比较与的大小因为所以结合图象不难得当时，与有两个交点. 综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间，去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值判断函数的单调性的方法：基本初等函数的单调性；导数法判断函数零点的个数的方法：
11、解方程法；图象法例7.已知函数f(x)2lnxx22axa2，其中a0.()设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；()证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.【解析】()由已知，函数f(x)的定义域为(0，)g(x)f (x)2(x1lnxa)所以g(x)2当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递增()由f (x)2(x1lnxa)0，解得ax1lnx令(x)2xlnxx22x(x1lnx)(x1lnx)2(1lnx)22xlnx则(1)10，(e)2(2e)0于是存在x0(1，e)，使得
12、(x0)0令a0x01lnx0u(x0)，其中u(x)x1lnx(x1)由u(x)10知，函数u(x)在区间(1，)上单调递增故0u(1)a0u(x0)u(e)e21即a0(0，1)当aa0时，有f (x0)0，f(x0)(x0)0再由()知，f (x)在区间(1，)上单调递增当x(1，x0)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0当x(x0，)时，f (x)0，从而f(x)f(x0)0又当x(0，1时，f(x)(xa0)22xlnx0故x(0，)时，f(x)0综上所述，存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在区间(1，)内有唯一解.【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
