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1、数学思想方法是学习数学知识的精髓 ， 是培养数学分析问题 、 解决问题能力提升的有效途径 ， 在数学学习过程中 ， 如果经常反思总结一些数学思想方法 ， 能达到触类旁通的解题目的 ， 而且能节省审题时间 ， 因此 ， 在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节 ， 力争通过反思数学思想方法达到 “ 做一题 ， 会一类 ” 的目的 初中数学思想主要有 ： 转化思想 ； 数形结合思想 ； 整体思想 ； 分类讨论思想 ； 函数与方程的思想 ； 统计思想 ； 特殊到一般的思想等 现就常用数学思想方法举例说明如下： 1 转化思想 数学中考题是千变万化的 ， 而其中蕴含的数学思想方法是不变的 ， 如新知识问
2、题转化为旧知识问题 ， 较复杂问题转化为简单问题等 ， 都要用到转化的思想方法 2 数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度 ， 利用几何图形的性质研究数量关系 ， 寻求代数问题的解决途径 ， 或用数量关系研究几何图形的性质去解决几何图形的问题 ， 使数量关系和几何图形巧妙地结合起来 ， 使问题得以解决的一种数学思想 在初中阶段涉及数形结合思想的内容有 ： 数轴 、 函数 、 三角形 、 四边形 、 圆 、 列方程 ( 组 )解应用题等 数形结合思想方法的应用 ， 可帮助我们理解题意 ， 分清已知量未知量 ， 理顺题中的逻辑关系 3 分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不
3、确定的因素 ， 无法用统一的方法或结论给出统一的表述时 ， 按可能出现的所有情况来分别讨论 ， 得出各种情况下相应的结论 分类的原则是 ： ( 1 ) 分类中的每一部分是相互独立的 ； ( 2 ) 一次分类必须是同一个标准 ； ( 3 ) 分类讨论应逐级进行 分类思想有利于学会完整地考虑问题 ， 化整为零地解决问题 一般把握一个原则 ： 遇到模棱两可的情况时往往采用分类讨论的思想 比如 ， 遇到 “ 等腰三角形 、 圆 ” 等相关知识时常用分类讨论的思想 类型一 转化思想( 1 ) 解方程 ： xx 1 2x3x 3 1. 【点拨】 解分式方程时，应去分母 “ 转化 ” 为整式方程再求解，最后
4、注意验根 【解答】 去分母 ， 得 3x 2x 3x 3 ， 整理 ， 得 2x 3 ， 解得 x 32 . 经检验 ， x 32 是原方程的根 ( 2 ) 已知 ： 如图 ， 在梯形 A B C D 中 ， A D / / B C ， AB DC AD 2 ， BC 4 ， 求 B 的度数及 AC 的长 【点拨】 解决梯形问题时，往往通过作辅助线 “ 转化 ” 为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形去解决，常见辅助线有平移一腰、作高、平移对角线等 【解答】 如图 ， 分别作 AF BC ， DG BC ， F 、 G 是垂足 A F B DGC 9 0 . A D / / B C ， 四边形
5、A F G D 是矩形 ， AF D G . AB DC ， Rt A F B Rt DGC ， BF C G . AD 2 ， BC 4 ， BF 1. 在 Rt A F B 中 ， c o s B BFAB12， B 6 0 . BF 1 ， AF 3 . FC 3 ， 由勾股定理 ， 得 AC 2 3 . B 6 0 ， AC 2 3 . 类型二 数形结合思想求满足不等式组 2x 5 1 ， 3x 8 10 的整数解 【点拨】 解不等式 ( 组 ) 或求其特殊解时，要借助数轴求解，以防出现错解或漏解 【解答】 解不等式 ， 得 x 2. 解不等式 ， 得 x 6. 2 y 2 0 B y
6、 1 0 y 2 D y 1 0 y 2 解析： 数形结合法可选 C. 答案： C 3 已知 O 的半径为 13 cm ， 弦 A B / / C D ， AB 24 cm ， CD 10 cm ， 则 AB 、 CD 之间的距离为 ( ) A 17 cm B 7 cm C 12 cm D 17 cm 或 7 cm 解析： 分类讨论的思想方法 如图，当 AB 、 CD 在圆心的同侧时，在 Rt OA E 中， OE OA2 AE2 132 122 5 ( cm ) 在 Rt O C F 中， OF OC2 CF2 132 52 12 ( cm ) EF OF OE 12 5 7 ( cm )
7、当 AB 、 CD 在圆心的异侧时，同理可求出 AB 、 CD 之间的距离为 17 cm ，故 AB 、 CD之间的距离为 7 cm 或 17 c m . 答案： D 4 在平面直角坐标平面中 ， O 为坐标原点 ， 二次函数 y x 2 ( k 1 ) x 4 的图象与 y轴交于点 A ， 与 x 轴的负半轴交于点 B ， 且 S OAB 6. ( 1 ) 求点 A 与点 B 的坐标 ； ( 2 ) 求此二次函数的解析式 ； ( 3 ) 如果点 P 在 x 轴上 ， 且 A B P 是等腰三角形 ， 求点 P 的坐标 解： ( 1 ) 由解析式可知 ， 点 A 的坐标为 ( 0 , 4 )
8、S O A B12 BO 4 6 ， BO 3 ， 点 B 的坐标为 ( 3 , 0 ) ( 2 ) 把 B ( 3 , 0 ) 代入 ， 得 ( 3 )2 ( k 1 ) ( 3 ) 4 0 ， 解得 k 1 53. 所求二次函数的解析式为 y x253x 4. ( 3 ) 因为 A B P 是等腰三角形 ， 所以 当 AB AP 时 ， 点 P 的坐标为 ( 3 , 0 ) ； 当 AB BP时 ， 点 P 的坐标为 ( 2 , 0 ) 或 ( 8 , 0 ) ； 当 AP BP 时 ， 设点 P 的坐标为 ( x , 0 ) ， 根据题意得 x2 42 |x 3| ， 解得 x 76，
9、点 P 的坐标为 (76， 0 ) 综上所述 ， 点 P 的坐标为 ( 3 , 0 ) ， ( 2 , 0 ) ， ( 8 , 0 ) ， (76， 0 ) 5 阅读材料 ： 为解方程 ( x2 1 )2 5 ( x2 1 ) 4 0 ， 我们可以将 x2 1 看做一个整体 ， 然后设 x2 1 y ， 那么原方程可化为 y2 5y 4 0 ， 解得 y 1 1 ， y 2 4. 当 y 1 时 ， x2 1 1 ， x2 2 ， x 2 ； 当 y 4 时 ， x2 1 4 ， x2 5 ， x 5 ， 原方程的解为 x 1 2 ， x 2 2 ， x 3 5 ， x 4 5 . 解答问题 ： ( 1 ) 上述解题过程 ， 在由原方程得到方程 的过程中 ， 利用 _ _ _ _ _ _ _ _ 法达到了解方程的目的 ， 体现了转化的数学思想 ( 2 ) 请利用以上知识解方程 x4 x2 6 0. 解： ( 1 ) 换元 ( 2 ) 设 x 2 y ， 那么原方 程可化为 y 2 y 6 0. 解得 y 1 3 ， y 2 2. 当 y 3 时 ， x 2 3 ， x 3 ， 当 y 2 时 ， x 2 2 不符合题意 ， 舍去 原方程的解为 x 1 3 ， x 2 3 .
