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1、8.4直线、平面平行的判定与性质 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 直线、平面平行的 判定与性质 1.了解直线与平面和平面与平面的位置关 系 2.认识和理解空间中直线、平面平行的有 关性质和判定 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间位置关系的简单命题 2017 课标全国,6; 2017 课标全国,18; 2016 课标全国,11; 2016 山东,18; 2016 四川,17 选择题、 填空题、 解答题 分析解读 从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查比较平稳,一般通过对图形或几何体的认识,考查直线与平面平行以及平面 与平面平行的判定和性质,题型以解答题为主
2、,偶尔也会出现在小题之中,以命题判断居多,难度适中,主要考查直线、平面平行间 的转化思想,同时也考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力.分值约为 6 分. 五年高考 考点直线、平面平行的判定与性质 1.(2017 课标全国,6,5 分)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中, 直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是() 答案A 2.(2016 课标全国,11,5 分)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为() A.B.C.D.
3、3 2 2 2 3 3 1 3 答案A 3.(2014 辽宁,4,5 分)已知 m,n 表示两条不同直线, 表示平面.下列说法正确的是() A.若 m,n,则 mn B.若 m,n,则 mn C.若 m,mn,则 n D.若 m,mn,则 n 答案B 4.(2016 课标全国,19,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一 点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (1)证明 MN平面 PAB; (2)求四面体 NBCM 的体积. 解析(1)证明:由已知得 AM= AD=2, 2 3 取 BP 的中点
4、T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TNBC,TN= BC=2.(3 分) 1 2 又 ADBC,故 TNAM,故四边形 AMNT 为平行四边形,于是 MNAT. 因为 AT平面 PAB,MN平面 PAB,所以 MN平面 PAB.(6 分) (2)因为 PA平面 ABCD,N 为 PC 的中点,所以 N 到平面 ABCD 的距离为 PA.(9 分) 1 2 取 BC 的中点 E,连接 AE. 由 AB=AC=3 得 AEBC,AE=. 2- B25 由 AMBC 得 M 到 BC 的距离为, 5 故 SBCM= 4=2. 1 2 55 所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM= S
5、BCM=.(12 分) 1 3 2 45 3 5.(2016 山东,18,12 分)在如图所示的几何体中,D 是 AC 的中点,EFDB. (1)已知 AB=BC,AE=EC,求证:ACFB; (2)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证:GH平面 ABC. 证明(1)因为 EFDB, 所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF. 连接 DE. 因为 AE=EC,D 为 AC 的中点, 所以 DEAC. 同理可得 BDAC. 又 BDDE=D, 所以 AC平面 BDEF, 因为 FB平面 BDEF, 所以 ACFB. (2)设 FC 的中点为 I.连接 GI,HI. 在CEF 中,因
6、为 G 是 CE 的中点, 所以 GIEF.又 EFDB, 所以 GIDB. 在CFB 中,因为 H 是 FB 的中点, 所以 HIBC. 又 HIGI=I, 所以平面 GHI平面 ABC. 因为 GH平面 GHI, 所以 GH平面 ABC. 6.(2015 山东,18,12 分)如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点. (1)求证:BD平面 FGH; (2)若 CFBC,ABBC,求证:平面 BCD平面 EGH. 证明(1)证法一: 连接 DG,CD,设 CDGF=M,连接 MH. 在三棱台 DEF-ABC 中, AB=2DE,G 为 AC 的中点
7、, 所以 DFGC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形. 所以 M 为 CD 的中点,又 H 为 BC 的中点, 所以 HMBD, 又 HM平面 FGH,BD平面 FGH, 所以 BD平面 FGH. 证法二: 在三棱台 DEF-ABC 中, 由 BC=2EF,H 为 BC 的中点, 可得 BHEF,BH=EF, 所以四边形 HBEF 为平行四边形, 可得 BEHF. 在ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GHAB. 又 GHHF=H, 所以平面 FGH平面 ABED. 因为 BD平面 ABED, 所以 BD平面 FGH. (2)连接 HE,EG,CD.
8、 因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GHAB. 由 ABBC,得 GHBC. 又 H 为 BC 的中点, 所以 EFHC,EF=HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边形. 所以 CFHE, 又 CFBC,所以 HEBC. 又 HE,GH平面 EGH,HEGH=H, 所以 BC平面 EGH. 又 BC平面 BCD, 所以平面 BCD平面 EGH.来源:学科网 ZXXK 7.(2013 陕西,18,12 分)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O底面 ABCD,AB=AA1=. 2 (1)证明:平面 A1BD平面 CD1B1;
9、(2)求三棱柱 ABD-A1B1D1的体积. 解析(1)由题设知,BB1DD1, 四边形 BB1D1D 是平行四边形, BDB1D1. 又 BD平面 CD1B1, BD平面 CD1B1. A1D1B1C1BC, 四边形 A1BCD1是平行四边形, A1BD1C. 又 A1B平面 CD1B1, A1B平面 CD1B1. 又BDA1B=B, 平面 A1BD平面 CD1B1. (2)A1O平面 ABCD, A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1的高. 又AO= AC=1,AA1=, 1 2 2 A1O=1. 2 1- O2 又SABD= =1, 1 2 22 =SABDA1O=1. - 111 教师
10、用书专用(818) 8.(2013 广东,8,5 分)设 l 为直线, 是两个不同的平面.下列命题中正确的是() A.若 l,l,则 B.若 l,l,则 C.若 l,l,则 D.若 ,l,则 l 答案B 9.(2016 四川,17,12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD= AD. 1 2 (1)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM平面 PAB,并说明理由; (2)证明:平面 PAB平面 PBD. 解析(1)取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD),点 M 即为所求的一个点.理由如下: 连接 CM.因为 ADBC,BC= AD,
11、1 2 所以 BCAM,且 BC=AM. 所以四边形 AMCB 是平行四边形,从而 CMAB. 又 AB平面 PAB,CM平面 PAB, 所以 CM平面 PAB. (说明:取棱 PD 的中点 N,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点) (2)证明:连接 BM,由已知,PAAB,PACD, 因为 ADBC,BC= AD,所以直线 AB 与 CD 相交, 1 2 所以 PA平面 ABCD.从而 PABD. 因为 ADBC,BC= AD, 1 2 所以 BCMD,且 BC=MD.来源:学科网 所以四边形 BCDM 是平行四边形. 所以 BM=CD= AD,所以 BDAB. 1 2 又 ABAP=A
12、,所以 BD平面 PAB. 又 BD平面 PBD, 所以平面 PAB平面 PBD. 10.(2015 北京,18,14 分)如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB平面 ABC,VAB 为等边三角形,ACBC 且 AC=BC=,O,M 分别为 2 AB,VA 的中点. (1)求证:VB平面 MOC; (2)求证:平面 MOC平面 VAB; (3)求三棱锥 V-ABC 的体积. 解析(1)证明:因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点, 所以 OMVB. 又因为 VB平面 MOC, 所以 VB平面 MOC. (2)证明:因为 AC=BC,O 为 AB 的中点, 所以 OCAB. 又因为平面
13、VAB平面 ABC,且 OC平面 ABC, 所以 OC平面 VAB. 所以平面 MOC平面 VAB. (3)在等腰直角三角形 ACB 中,AC=BC=, 2 所以 AB=2,OC=1. 所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB=. 3 又因为 OC平面 VAB, 所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 OCSVAB=. 1 3 3 3 又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等, 所以三棱锥 V-ABC 的体积为. 3 3 11.(2015 天津,17,13 分)如图,已知 AA1平面 ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点 E 和 F 分别
14、为 BC 和 A1C 的中 577 点. (1)求证:EF平面 A1B1BA; (2)求证:平面 AEA1平面 BCB1. 解析(1)证明:如图,连接 A1B.在A1BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点,所以 EFBA1.又因为 EF平面 A1B1BA,所以 EF 平面 A1B1BA. (2)证明:因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AEBC.因为 AA1平面 ABC,BB1AA1,所以 BB1平面 ABC,从而 BB1AE.又因为 BCBB1=B,所以 AE平面 BCB1,又因为 AE平面 AEA1,所以平面 AEA1平面 BCB1. 12.(2015 广东,
15、18,14 分)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC平面 PDA; (2)证明:BCPD; (3)求点 C 到平面 PDA 的距离. 解析(1)证明:因为四边形 ABCD 是长方形, 所以 ADBC. 又因为 AD平面 PDA,BC平面 PDA,所以 BC平面 PDA. (2)证明:取 CD 的中点,记为 E,连接 PE,因为 PD=PC,所以 PEDC. 又因为平面 PDC平面 ABCD,平面 PDC平面 ABCD=DC,PE平面 PDC,所以 PE平面 ABCD. 又 BC平面 ABCD,所以 PEBC.
16、 因为四边形 ABCD 为长方形,所以 BCDC. 又因为 PEDC=E,所以 BC平面 PDC. 而 PD平面 PDC,所以 BCPD. (3)连接 AC.由(2)知,BCPD,又因为 ADBC,所以 ADPD,所以 SPDA= ADPD= 34=6. 1 2 1 2 在 RtPDE 中,PE=. 2- D242- 327 SADC= ADDC= 36=9. 1 2 1 2 由(2)知,PE平面 ABCD,则 PE 为三棱锥 P-ADC 的高. 设点 C 到平面 PDA 的距离为 d, 由 VC-PDA=VP-ADC,即 dSPDA= PESADC,亦即 6d= 9,得 d=. 1 3 1 3 1 3 1 3 7 37 2 故点 C 到平面 PDA 的距离为. 37 2 13.(2014 课标,18,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB平面 AEC; (2)设 AP=1,AD=,三棱锥 P-ABD 的体积 V=,求 A 到平面
