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1、概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1事件的关系 2运算规则 (1) (2)(3)(4)3概率满足的三条公理及性质:(1) (2)(3)对互不相容的事件,有 (可以取)(4) (5) (6),若,则,(7)(8)4古典概型:基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率(1) 定义:若,则(2) 乘法公式:若为完备事件组,则有(3) 全概率公式: (4) Bayes公式: 7事件的独立性: 独立 (注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1),(2)=1 (3)对任意,2 连续随机变量:具有概率密度函数,满足(1);(2);(3)对任意,3 几个
2、常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布,二项式分布,Poisson分布几何分布均匀分布,指数分布正态分布4 分布函数 ,具有以下性质 (1);(2)单调非降;(3)右连续; (4),特别; (5)对离散随机变量,; (6)对连续随机变量,为连续函数,且在连续点上,5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数,则有 (1);(2);(3)若,则; (4)以记标准正态分布的上侧分位数,则6 随机变量的函数 (1)离散时,求的值,将相同的概率相加; (2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则,若不单调,先求分布函数,再求导。第四章 随机变量的数字特征1期望(1)
3、离散时 , ;(2) 连续时,;(3) 二维时,(4);(5);(6);(7)独立时,2方差(1)方差,标准差;(2);(3);(4)独立时,3协方差(1);(2);(3);(4)时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;(5)4相关系数 ;有,5 阶原点矩, 阶中心矩第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev不等式 或2大数定律3中心极限定理 (1)设随机变量独立同分布,则, 或 或,(2)设是次独立重复试验中发生的次数,则对任意,有或理解为若,则第六章 样本及抽样分布1总体、样本(1) 简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);(2) 样本数字特征:
4、样本均值(,); 样本方差()样本标准差 样本阶原点矩,样本阶中心矩2统计量:样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义) (1)分布 ,其中独立同分布于标准正态分布,若且独立,则; (2)分布 ,其中且独立; (3)分布 ,其中且独立,有下面的性质 4正态总体的抽样分布(1); (2);(3)且与独立; (4);(5),(6)第七章 参数估计1矩估计:(1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计2极大似然估计:(1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估
5、计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为min或max)3估计量的评选原则(1)无偏性:若,则为无偏; (2) 有效性:两个无偏估计中方差小的有效;4参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间已知未知未知复习资料1、 填空题(15分)题型一:概率分布的考察【相关公式】(P379)分布参数分布律或概率密度数学期望(E)方差(D)(01)分布二项分布负二项分布几何分布超几何分布泊松分布均匀分布 【相关例题】1、 设,则求a,b的值。2、 已知,则求n,p的值。题型二:正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】(P163)【相关例题】1、 (样本容量已知)2、 (样本容量未知)题型三:方差的性质【
6、相关公式】(P103)【相关例题】1、题型四:【相关公式】(P140、P138)【相关例题】1、2、题型五:互不相容问题【相关公式】(P4)【相关例题】1、2、 选择题(15分)题型一:方差的性质【相关公式】(见上,略)【相关例题】(见上,略)题型二:考察统计量定义(不能含有未知量)题型三:考察概率密度函数的性质(见下,略)题型四:和、乘、除以及条件概率密度(见下,略)题型五:对区间估计的理解(P161)题型六:正态分布和的分布【相关公式】(P105)【相关例题】题型七:概率密度函数的应用【相关例题】 设 已知3、 解答题(70分)题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】v
7、 全概率公式:v 贝叶斯公式:【相关例题】1、P19 例5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区分标志。问:(1) 在仓库中随机取一只元件,求它的次品率;(2) 在仓库中随机抽取一只元件,为分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少,试求这些概率。(见下)2、袋中装有m枚正品硬币,n枚次品硬币(次品硬币两面均有国徽),在袋中任意取一枚,将他掷r次,已知每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?3、设根
8、据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种:损坏2%(这一事件记为A1),损坏10%(这一事件记为A2),损坏90%(这一事件记为A3),且知P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),(见下)4、 将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为,而输出其他字母的概率都是(1-)/2.今将字母串AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道,输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p1、p2、p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA。问输入AAAA的概率是多少?(设信道传
9、输各字母的工作是相互独立的。)题型二:1、求概率密度、分布函数;2、正态分布1、 求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导;已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式:,且对于任意实数,有:。【相关例题】(1)设随机变量X的分布函数为: FX(X)= 12(见下) (2),是确定常数A。(3) 设随机变量X具有概率密度f(x)= ,求X的分布函数。 0,其他解: 0,x0 2、 正态分布(高斯分布)【相关公式】(1)公式其中:(2) 若(3) 相关概率运算公式: 【相关例题】1、 (P58 27)某地区18岁女青年的血压(收缩压:以mmHg计)服从N(110,122),在该地任选一
10、名18岁女青年,测量她的血压X,求:(1)(2)确定最小的2、 由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数的正态分布,规定长度在范围内为合格品,求一螺栓为不合格的概率。(见下)题型三:二维随机变量的题型【相关公式】【相关例题】1、 (P84 3)设随机变量(X,Y)的概率密度为: yx0442y=4-x (见下)2、 (P86 18)设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在区间(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为: 1,0x1 0,其他3、 (P87 25)设随机变量X,Y相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 0,其他求Z=X+Y的概率密度。4、 (P87 26)设随机变量X,Y相互独立,它们的概率密度为 0,其他求Z=Y/X的概率密度。 题型四:最大似然估计的求解【相关公式】【相关例题】1、 设概率密度为: 2、 (P174 8) 的总体的样本,未知,求的最大似然估计。题型五:正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】【相关例题】1、 (P218 3)某批矿砂的5 个样品中的镍含量,经测定(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定