《高考数学(课标版 文科)一轮复习专题 导数的概念及运算-（最新版-已修订）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学(课标版 文科)一轮复习专题 导数的概念及运算-（最新版-已修订）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章导数及其应用 3.1导数的概念及运算 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型 预测热 度 1.导数的概念 与几何意义 1.了解导数概念的实际背景 2.理解导数的几何意义 2017 课标全国,14; 2017 天津,10; 2016 山东,10; 2015 课标,14; 2015 课标,16 选择题、 填空题 2.导数的运算来 源:学科网 ZXXK 1.能根据导数定义求函数 y=C(C 为常数),y=x,y= 1 x ,y=x2,y=x3,y=的导数 x 2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数来源:学 2015 天津,11来源:学科网 ZXXK 选择题、
2、 解答题 来源:学. 科.网 分析解读 本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点. 1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直 线的斜率间的关系为载体求字母的取值等. 2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查. 3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于容易题. 五年高考 考点一导数的概念与几何意义 1.(2016 山东,10,5 分)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,
3、则称 y=f(x)具有 T 性质.下 列函数中具有 T 性质的是() A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3 答案A 2.(2014 陕西,10,5 分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图 象的一部分,则该函数的解析式为() A.y= x3- x2-xB.y= x3+ x2-3x 1 2 1 2 1 2 1 2 C.y= x3-xD.y= x3+ x2-2x 1 4 1 4 1 2 答案A 3.(2017 天津,10,5 分)已知 aR,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1)处的切线为 l,
4、则 l 在 y 轴上的截距为. 答案1 4.(2017 课标全国,14,5 分)曲线 y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为. 1 答案x-y+1=0 5.(2016 课标全国,16,5 分)已知 f(x)为偶函数,当 x0 时, f(x)=e-x-1-x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是. 答案y=2x 6.(2015 课标,14,5 分)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则 a=. 答案1 7.(2015 课标,16,5 分)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则
5、 a=. 答案8 8.(2014 江西,11,5 分)若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是. 答案(e,e) 教师用书专用(915) 9.(2014 广东,11,5 分)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为. 答案5x+y+2=0 10.(2013 江西,11,5 分)若曲线 y=x+1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 =. 答案2 11.(2013 广东,12,5 分)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=. 答案 1 2 12.(2015 山东,20,1 3 分)设函数
6、 f(x)=(x+a)ln x,g(x)= .已知曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线与直线 2x-y=0 平行. 2 e (1)求 a 的值; (2)是否存在自然数 k,使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出 k;如果不存在,请说明理由; (3)设函数 m(x)=minf(x),g(x)(minp,q表示 p,q 中的较小值),求 m(x)的最大值. 解析(1)由题意知,曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为 2, 所以 f (1)=2, 又 f (x)=ln x+ +1,所以 a=1. (2)k=1 时,方程 f(x)=g(x)在
7、(1,2)内存在唯一的根. 设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x- , 2 e 当 x(0,1时,h(x)1-1=0, 4 e2 4 e2 所以存在 x0(1,2), 使得 h(x0)=0. 因为 h(x)=ln x+ +1+, 1 ( - 2) e 所以当 x(1,2)时,h(x)1- 0, 1 e 当 x(2,+)时,h(x)0, 所以当 x(1,+)时,h(x)单调递增. 所以 k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根. (3)由(2)知方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0, 且 x(0,x0)时, f(x)g(x), 所以
8、m(x)= ( + 1)ln, x (0,0, 2 e,x (0, + ). 当 x(0,x0)时,若 x(0,1,m(x)0; 若 x(1,x0),由 m(x)=ln x+ +10, 1 可知 00,m(x)单调递增; x(2,+)时,m(x)0,m(x)单调递减, 可知 m(x)m(2)= ,且 m(x0)0,函数 f(x)在(0,+)上单调递增, 当 a0 时,令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a, =(2a+2)2-4a2=4(2a+1). 当 a=- 时,=0, 1 2 f (x)=0,函数 f(x)在(0,+)上单调递减. - 1 2(x - 1) 2 ( + 1)2 当 a-
9、 时,0,g(x)0, 1 2 f (x)0,函数 f(x)在(0,+)上单调递减. 当- a0, 1 2 设 x1,x2(x10, + 1 -2 + 1 - 2+ 2a + 1 -2 + 1 - 所以 x(0,x1)时,g(x)0,f (x)0,f (x)0,函数 f(x)单调递增, x(x2,+)时,g(x)0,f (x)0,函数 f(x)单调递减. 综上可得: 当 a0 时,函数 f(x)在(0,+)上单调递增; 当 a- 时,函数 f(x)在(0,+)上单调递减; 1 2 当- a0 且 g(1)0,即-3t-1 时,因为 g(-1)=t-70,所以 g(x)分别在区间-1,0),0,
10、1)和1,2)上恰有 1 个零点. 由于 g(x)在区间(-,0)和(1,+)上单调,所以 g(x)分别在区间(-,0)和1,+)上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3,-1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切. 15.(2013 北京,18,13 分)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a, f(a)处与
11、直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 解析由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f (x)=x(2+cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a)处与直线 y=b 相切,所以 f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f (x)=0,得 x=0. f(x)与 f (x)的情况如下: x(-,0)0(0,+) f (x)-0+ f(x)1 所以函数 f(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增,所以 f(0)=
12、1 是 f(x)的最小值. 当 b1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点; 当 b1 时,f(-2b)=f(2b)4b2-2b-14b-2b-1b, f(0)=11 时曲线 y=f(x)与直线 y=b 有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+). 考点二导数的运算 1.(2016 天津,10,5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)ex, f (x)为 f(x)的导函数,则 f (0)的值为. 答案3 2.(2015 天津,11,5 分)已知函数 f(x)=axln x,x(0,+),其中 a 为
13、实数, f (x)为 f(x)的导函数.若 f (1)=3,则 a 的值 为. 答案3 三年模拟 A 组20162018 年模拟基础题组 考点一导数的概念与几何意义 1.(2018 广东佛山一中期中考试,11)已知 f(x)=(x+a)ex的图象在 x=-1 与 x=1 处的切线互相垂直,则 a=() A.-1B.0C.1D.2 答案A 2.(2017 四川名校一模,6)已知函数 f(x)的图象如图, f (x)是 f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是() A.0f (2)f (3)f(3)-f(2) B.0f (3)f (2)f(3)-f(2) C.0f (3)f(3)-f(2)f (2
14、) D.0f(3)-f(2)f (2)0 时,f(x)的导函数 f (x)的极小值 ( + )ln, 0, 2 + 2 + , 0, 为. 答案2 5.(2017 天津红桥期中联考,16)若曲线 f(x)=ax5+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是. 答案(-,0) 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 6.(2018 广东惠州一调,21)设函数 f(x)=. ln + 1 (1)求曲线 y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程; (2)当 x1 时,不等式 f(x)- 恒成立,求 a 的取值范围. 1 (2- 1) 解析(1)根据题意可得,f(e)= ,f
15、 (x)=, 2 e - ln 2 所以 f (e)=- , - ln e e2 1 e2 所以曲线在点(e,f(e)处的切线方程为 y- =- (x-e),即 x+e2y-3e=0. 2 e 1 e2 (2)根据题意可得,f(x)- -=0 在 x1 时恒成立, 1 (2- 1) ln - (2- 1) 令 g(x)=ln x-a(x2-1)(x1),所以 g(x)= -2ax, 1 当 a0 时,g(x)0,所以函数 y=g(x)在1,+)上单调递增,所以 g(x)g(1)=0, 所以不等式 f(x)- 成立,故 a0 符合题意; 1 (2- 1) 当 a0 时,令 -2ax=0,解得 x
16、=(舍负),令=1,解得 a= , 1 1 2 1 2 1 2 当 0a1,所以在上,g(x)0,在上,g(x)0 恒成立,又 0a ,( 1 ) 1 ( 1 ) 2 - 1 1 1 1 1 2 2- a + 1 2 1 2 所以 h(a)h=-ln -2+ =ln 2- 0,( 1 2) 1 2 1 2 3 2 所以存在 g0,( 1 ) 所以 0a 不符合题意; 1 2 当 a 时,1,g(x)0 时,f(x)0 恒成立,求 a 的取值范围. 解析(1)当 a=1 时,f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)= , 1 e 所以切点坐标为,(- 1, 1 e) f (x)=ex-2x-2,所以 f (-1)= , 1 e 故曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1)处的切线方程为 y- = x-(-1),即 y= x+ . 1 e 1 e 1 e 2 e (2)对 f(x)=ex-ax2-2a
