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1、函数的单调性与最值 一、知识梳理1增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f(x2)2单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值注意：1 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递
2、增或单调递减单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“”联结，也不能用“或”联结2 两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但 f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比试一试1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)ByC Dyx解析：选A选项A的函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增函数2函数f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.解析：函数f(x)的对称轴x1，单调增区间为1,4，f(x)maxf(2)f
3、(4)8.答案：1,48二、方法归纳1判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性2求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正
4、二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域练一练1下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 D. ylg|x|答案：C2函数f(x)在区间2,3上的最大值是_，最小值是_答案： 三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数的单调增区间是_解析：要使有意义，则，即，而为上的增函数，当时，u2x1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：2函数yx|1x|的单调增区间为_解析：yx|1x|作出该函数的图像如图所示由图像可知，该函数的
5、单调增区间是(，1答案：(，13 设函数yf(x)在内有定义对于给定的正数k，定义函数 取函数，当k时，函数的单调递增区间为()A(，0)B(0，)C(，1) D(1，)解析：选C由f(x)，得1x1.由f(x)，得x1或x1.所以，故的单调递增区间为(，1)解题通法求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即：(1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法考点二 函数单调性的判断典例试讨论函数的单调性解法一：由解析式可知，函数的定义域是在(0，)内任取，令，那么因为，所以，.故当时，即函数在上单调递增当时，即函数在上单调递减考虑到函数是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调
6、性，故在单调递增，在上单调递减综上，函数f(x)在和上单调递增，在和上单调递减解题通法1利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底2利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确针对训练判断函数g(x)在 (1，)上的单调性解：任取x1，x2(1，)，且x1x2，则，由于1x1x2，所以x1x20，因此g(x1)g(x2)0，即g(x1)0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又当x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3
7、上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.角度二比较两个函数值或两个自变量的大小2已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.角度三解函数不等式3已知函数则不等式f(a24)f(3a)的解集为()A(2,6) B(1,4)C(1,4) D(3,5)
8、解析：选B作出函数f(x)的图像，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1af(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内2比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解巩固练习一、选择题1“a1”是“函数f(x)x22ax3在区间1，)上为增函数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充
9、要条件D既不充分也不必要条件答案：A 解析：f(x)对称轴xa，当a1时f(x)在1，)上单调递增“a1”为f(x)在1，)上递增的充分不必要条件2已知函数，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是( )A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)答案：C解析：由题知f(x)在R上是增函数，由题得2a2a，解得2a0时，它有两个减区间为(，1)和(1，)，故只需区间1,2是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是00，x2x30，x3x10，则f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于0B一定小于0C等于0D正负都有可能答案：A解析：f(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x20，x2x30，x3x10，x1x2，x2x3，x3x1.又f(x1)f(x2)f(x2)，f(x2)f(x3)f(x3)，f(x3)f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)0.二、填空题6函数y(x3)|x|的递增区间是_7设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是_(填序号)yf(x)2是增函数；y是减函数；yf(x)是减函数；y|f(x)|是增函数答案：0，解析：画图象如图所示：可知递增区间为0，8 设0x1，则函数y的最小值是_ 答案：4解析y，当0x1时，x(1x)
