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1、2.2.4 均值不等式及其应用第均值不等式及其应用第 1 课时课时 教学课时教学课时：2 课时 教学目标教学目标： 1、 使学生学会推导均值不等式； 2、 帮助学生理解均值不等式； 3、 训练学生初步初步掌握均值不等式的应用； 4、 进一步训练学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养。 教学重点：教学重点： 学生对均值不等式的推导、理解及初步应用。 教学难点教学难点： 学生对均值不等式的理解。 教学过程：教学过程： 一、新课讲解： （一）相关概念： 1.给定两个正数，数称为的算术平均数；数称为的几何平 ， + 2 ， ， 均数。 2.多个正数的算术平均值和几何平均值的定义。 【设计意图设计
2、意图】 学好本节内容的预备知识。 （二）学生活动 1： 完成教材 P72“尝试与发现” ，解决下列问题： 1.算术平均数的几何意义？几何平均值的几何意义？ 2.它们的大小关系如何呢？ 【设计意图设计意图】 从具体事例理解和掌握算术平均值和几何平均值的几何意义以及大小关系。 （三）均值不等式： 1.语言表述：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。 2.数学表达 ： 如果都是正数，那么，当且仅当时，等号成立。 ， + 2 = 证明：教材 P73 页。 （四）深度分析： 【均值不等式】又称基本不等式 1.基本不等式中的还可以是零，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于 ， 它们的几何平均值
3、。 2.均值不等式有什么几何意义呢？ 研究，可以得出：均值不等式的一个 ：将均值不等式两边平方得， （ + 2 ） 2 几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。 3.【拓展】：请回答教材 P73 页的“想一想” 。 【设计意图设计意图】 让学生从多角度来理解和掌握均值不等式。 （五）学生活动 2： 师生一起研究教材 P73 “探索与研究”中的问题，可以和你的同桌交流，给出 相应的结论。 【设计意图设计意图】 让学生看到均值不等式的“美” ，感受到数学的几何之美。 二、 （学科教研组期末学业水平汇编）典型例题： 例 1 已知，求的最小值，并说明 为何值时 取得最小值。 0 = + 1
4、解：因为，所以根据均值不等式有，其中等号成立当且 0 + 1 2 1 = 2 仅当，即，解得或（舍） 。 = 1 2= 1 = 1 = 1 因此时， 取得最小值 2。 = 1 【设计意图设计意图】引导学生注意使用均值不等式的条件以及解题的规范性培养。 例 2 已知，求证：，并推导等号成立的条件. 0 + 2 证明：因为，所以.根据均值不等式，得 0 0， 0 ，即。 + 2 = 2 + 2 当且仅当， 即时， 等号成立.因为， 所以等号成立的条件是 = 2= 2 0 。 = 【设计意图设计意图】让学生习得均值不等式在证明题中的应用。 三、归纳总结： 1.算术平均值和几何平均值 2.均值不等式（
5、又称基本不等式）以及均值不等式的几何意义 3.用均值不等式解题的格式要求 四、课后作业 1.完成教材 P76 上“探索与研究” ，每位同学将总结出来的规律整理好，下节课 交流。 2.教材 P76，练习 A 1、2；练习 B 2、3。考试前励志的话语 1把握现在、就是创造未来。期末考试，加油！ 2认真听讲常常成绩好，认真自学永远成绩好。 3当你在想玩什么，有人在想学什么；当你还在计划，有人已出发； 当你决定放弃，有人却坚信前进就有希望。人生路上，差之毫厘，谬 以千里。期末考试，加油！ 4我们的未来不是梦。 5成功的人找方法，失败的人找借口。 6不要放弃，放弃了今天就是放弃了一辈子。 7 不管什么年纪， 别辜负最好的时光。 把每一句 “我不会” 都改为 “我 可以学”，把每一句“我不敢”都改为“我一定行”。尝试总比永远 不敢开始要强！经历了才无侮！ 8如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟， 以希望为哨兵。期末考试，加油！ 9拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 10不问收获，但问耕耘！天道酬勤。期末考试，加油！
