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1、平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。一 向量的概念：1 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。2 向量的表示方法：（1）几何表示法：点射线有向线段具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）（2）字母表示法：可表示为3.模的概念：向量的大小长度称为向量的模。 记作：| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量： 1零向量长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别2单位向量长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。二 向量间的关系：1 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 记作： 规定：与任一向量平行
2、2 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。3 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。三 向量的加法：1定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）aaaCCCBBBAAA2三角形法则：a+bbabba+ba+b 强调： 1“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2可以推广到n个向量连加 3 4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则3.加法的交换律和平行四边形法则1向量加法的平行四边形法则（三角形法则）：2
3、向量加法的交换律：+=+3向量加法的结合律：(+) +=+ (+)4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。四 向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a2规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 03向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。2.用加法的逆运算定义
4、向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a - b3.向量减法做图：表示a - b。强调：差向量“箭头”指向被减数总结：1向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点)1.实数与向量的积 实数与向量的积，记作：定义：实数与向量的积是一个向量，记作： 1|=|20时与方向相同；0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10内分 0外分 -1 若P与P1重合，=0 P与P2重合 不存在 2 中点公
5、式是定比分点公式的特例3 始点终点很重要，如P分的定比= 则P分的定比=24 公式：如 x1, x2, x, 知三求一十平面向量的数量积及运算律（一）平面向量数量积1 定义：平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq，q = 0q = 180qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBC 并规定0与任何向量的数量积为0。2 向量夹角的概念：范围0q180C3 注意的几个问题；两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。 2两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个数量的积，书写
6、时要严格区分。 3在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。这就得性质2。OaAcbab 4已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA| bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab=bc 但a c 5在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。（二） 投影的概念及两个向量的数量积的性质：1“投影”的概念：作图AOO
7、BOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1投影也是一个数量，不是向量。 2当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0； 当q = 0时投影为 |b|； 当q = 180时投影为 -|b|。2向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。3两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1ea = ae =|a|cosq 2ab ab = 0 3当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|
8、b|。 特别的aa = |a|2或 4cosq = 5|ab| |a|b|十一. 平面向量的数量积的运算律1. 交换律：a b = b a2. 结合律：(a)b =(ab) = a(b)3. 分配律：(a + b)c = ac + bc十二. 平面向量的数量积的坐标表示1.设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 02.ab = x1x2 + y1y23.长度、角度、垂直的坐标表示 1a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| = 2若A = (x1, y1)，B = (x2,
9、y2)，则= 3 cosq = 4ab ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）十三.平移一、 平移的概念：点的位置、图形的位置改变，而形状、大小没有改变，从而导致函数的解析式也随着改变。这个过程称做图形的平移。（作图、讲解）一个平移实质上是一个向量二、 平移公式：设= (h, k)，即： (x, y) = (x, y) + (h, k) 平移公式三、 注意：1它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系 2知二求一 3这个公式是坐标系不动，点P(x, y)按向量a = (h, k)平移到点P(x, y)。另一种平移是：点不动，把坐标系平移向量-a，即：。这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一样的， 这两个公式作用是一致的。十四. 正弦定理1正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等公式即：=它适合于任何三角形
