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1、14.1.4整式的乘法,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六,知识点七,知识点一单项式乘以单项式 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 名师解读 (1)在单项式的乘法法则中,分为系数,相同的字母,不同字母三部分: 积的系数等于各因式系数的积,应先确定符号,再计算绝对值; 相同字母相乘,是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加; 只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,千万不要把这个因式丢掉. (2)单项式的乘法法则对于三个及三个以上的单项式相乘同样适用. (3)单项式乘以单项式
2、时,不要漏乘单独一个字母的项.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六,知识点七,知识点二单项式乘以多项式 一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 名师解读 单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.公式为m(a+b+c)=ma+mb+mc.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六,知识点七,知识点三多项式乘以多项式 一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 名师解读 (1)注意正确确定积中每一项的符号,多项式中的每一项都包含
3、着它前面的符号. (2)多项式乘以多项式后,若有同类项,千万不要忘记合并同类项.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六,知识点七,知识点四同底数幂的除法 一般地,我们有aman=am-n(a0,m,n都是正整数,并且mn). 即同底数幂相除,底数不变,指数相减. 名师解读 (1)上述法则满足三个条件:底数相同;被除式的指数大于除式指数,即mn;m,n都是整数. (2)底数a可以是一个单项式,也可以是多项式.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六,知识点七,知识点五零指数幂 规定a0=1(a0). 这就是说,任何不等于0的数的0次幂都等于1. 名师解读
4、 由于a0可以看作是由amam根据同底数幂的除法得到的,而分母(或除数)不能为0,所以要特别注意底数不为0的条件,否则a0没有意义.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六,知识点七,知识点六单项式除以单项式 一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. 名师解读 在进行单项式除以单项式的运算时,要注意以下几点. (1)对于系数:将单项式系数的商作为商的系数; (2)对于同底数幂:在被除式和除式里都含有的字母,按照同底数幂的除法进行,所得的商作为商的一个因式; (3)对于只在被除式里含有的字母:直接把
5、字母连同指数作为商的一个因式; (4)两个单项式相除,所得的结果一定还是单项式,可以利用单项式相乘的方法来验证计算结果是否正确.,知识点一,知识点二,知识点三,知识点四,知识点五,知识点六,知识点七,知识点七多项式除以单项式 一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 名师解读 (1)在计算过程中,不要漏除,原多项式有几项,则结果就必须有几项,并且每一项都要带着符号进行除法运算. (2)多项式除以单项式的结果一定还是多项式,其计算结果是否正确可以利用单项式乘以多项式进行检验.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点一
6、逆用幂的运算法则求值问题 例1若am=3,an=5,求a2m+3n和a3m-2n的值. 分析根据幂的乘方,可得要求的形式,根据同底数幂的除法,可得答案. 解a2m+3n=a2ma3n=(am)2(an)3=3253=1 125;,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点二单项式的乘积与同类项的定义相结合的问题 例2已知-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,求m,n的值. 分析利用单项式乘以单项式运算法则得出关于m,n的方程组进而求出答案. 解-2x3m+1y2n与7xn-6y-3-m的积与x4y是同类项,拓展点一,拓展点二,拓展点三
7、,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点三与单项式的乘法有关的新情境问题 例3某同学在计算一个多项式乘以-3x2时,因抄错运算符号,算成了加上-3x2,得到的结果是x2-4x+1,那么正确的计算结果是多少? 分析用错误结果减去已知多项式,得出原式,再乘以-3x2得出正确结果. 解这个多项式是(x2-4x+1)-(-3x2)=4x2-4x+1,正确的计算结果是(4x2-4x+1)(-3x2)=-12x4+12x3-3x2.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点四根据多项式与多项式的积不含某一项求字母的值 例4若(x2+px+q)(x2-2x-3)展
8、开后不含x2,x3项,求p,q的值. 分析先把(x2+px+q)(x2-2x-3)展开,合并同类项,再使x2,x3项的系数为0即可. 解(x2+px+q)(x2-2x-3) =x4-2x3-3x2+px3-2px2-3px+qx2-2qx-3q=x4+(p-2)x3-(2p-q+3)x2-(3p+2q)x-3q,而题意要求展开后不含x2,x3项,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点五多项式乘多项式中的“看错”问题 例5甲、乙两人共同计算一道整式乘法:(2x+a)(3x+b),由于甲抄错
9、了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2+11x-10;由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.请你计算出a,b的值各是多少,并写出这道整式乘法的正确结果. 分析先按甲、乙错误的算法得出的系数的数值求出a,b的值,再把a,b的值代入原式求出整式乘法的正确结果.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,解甲得到的算式:(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10, 根据对应的系数相等,得2b-3a=11,ab=10.乙得到的算式:(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2-9x+10
10、, 根据对应的系数相等,得2b+a=-9,ab=10. 正确的式子为(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点六特殊方程与不等式的解法 例6解方程与不等式: (1)(x-3)(x-2)+18=(x+9)(x+1); (2)(3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3). 分析(1)方程去括号,移项合并同类项,把x系数化为1,即可求出解;(2)方程去括号,移项合并同类项,把x的系数化为1,即可求出解集. 解(1)去括号得x2-5x+6+18=x2+10 x+9, 移项合并同类项得15x=15,解得x=1. (2)
11、去括号得9x2-169x2+9x-54,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,拓展点七利用图形解释整式的乘法 例7我们知道,对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如图1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.请解答下列问题: (1)写出图2中所表示的数学等式; (2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值; (3)小明同学用3张边长为a的正方形,4张边长为b的正方形,7张边长分别为a,b的长方形纸片拼出了一个长方形,那么该长方形较长一边的边长为多
12、少?,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,(4)小明同学又用x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张边长分别为a,b的长方形纸片拼出了一个面积为(25a+7b)(18a+45b)的长方形,求x+y+z的值.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,解(1)大正方形的面积可表示为(a+b+c)2,也可表示为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. (2)由(1)可知a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=112-382=121-76=45. (3)长方形的面积=3a2+7ab+4b2=(3a+4b)(a+b).所以长方形的边长为3a+4b和a+b,所以较长的一边长为3a+4b. (4)长方形的面积=xa2+yb2+zab=(25a+7b)(18a+45b)=450a2+126ab+1 125ab+315b2=450a2+1 251ab+315b2, x=450,y=315,z=1 251. x+y+z=450+315+1 251=2 016.,拓展点一,拓展点二,拓展点三,拓展点四,拓展点五,拓展点六,拓展点七,
