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1、2020/9/13,1,流 体 力 学,第四章 流体运动基本方程,2020/9/13,2,第四章 流体运动基本方程,微分形式的基本方程 积分形式的基本方程 微分形式基本方程的一些理论解 微分形式基本方程在圆柱和球坐标系中的表示,2020/9/13,3,第四章 流体运动基本方程,正确使用流体流动的连续性方程式 弄清流体流动的基本规律伯努利方程，掌握伯努利方程的物理意义、几何意义、使用条件及其应用 动量方程的应用,2）基本内容,重点：连续性方程、伯努利方程和动量方程。 难点：应用三大方程联立求解工程实际问题。,1）教学目的,掌握研究流体运动的方法 了解流体流动的基本概念,2020/9/13,4,掌
2、握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程，动量定理，动量矩定理，能量守恒方程，重点是关于控制体的欧拉型方程。 质量守恒，牛顿第二定律和能量守恒原理都是对包含确定物质的“系统”写出来的，而流体力学问题的实际研究中，更多地采用“控制体”的概念，这中间存在一个变换。 研究流体和运动物体的相互作用，常运用动量定理。 伯努利方程是能量守恒关系的一种表现形式。 质量守恒给出物理参数的相互关系式，常配合其它方程求解。,2020/9/13,5,第一节 微分形式的基本方程,在管路和明渠等流体力学计算中得到极为广泛的应用。,流体连续地充满所占据的空间，当流体流动时在其内部不形成空隙，这就是流体运动的连续性条件。,质
3、量守恒定律(conservation of mass) ：,若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；,如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。,连续性方程,2020/9/13,6,图 3-12 流场中的微元平行六面体,2020/9/13,7,一、连续性微分方程式,dt时间内流进、流出控制体的质量差：,x方向:,Y方向：,Z方向：,同理有,2020/9/13,8,据质量守恒定律：单位时间内流进、流出控制体的流体质量差等于控制体内流体面密度发生变化所引起的质量增量。即：,将mx、m
4、y、mz、代入上式，化简得：,连续性微分方程的一般形式,或,可压缩流体非定常三维流动的连续性方程,2020/9/13,9,可压缩流体非定常三维流动的连续性方程,可压缩流体定常三维流动的连续性方程,const,不可压缩流体三维流动的连续性方程,2020/9/13,10,不可压缩流体三维流动的连续性方程,物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。,不可压缩流体二维流动的连续性方程,不论是对理想流体还是实际流体都适用。,适用范围：,推导上述连续性方程时，没有涉及作用力的问题，,2020/9/13,11,【连续性例1】 假设
5、有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为）ux=3（x+y3)，uy=4y+z2，uz=x+y+2z。试分析该流动是否连续。 【解】,故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的,所以,2020/9/13,12,【连续性例2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否存在。 【解】判断流动是否存在，主要看其是否满足连续性微分方程。,故此流动是连续的。,所以,2020/9/13,13,二、作用在流体微元上的力, 重力场：,2020/9/13,14,三、欧拉方程（运动微分方程）,将欧拉平衡微分方程,推广到理想运动流体，运用牛顿第二定律,称
6、为欧拉运动微分方程,得,与静力平衡相比，多出此项,2020/9/13,15,理想流体的运动微分方程,欧拉运动微分方程,2020/9/13,16,对欧拉方程进行适当的变形（教材P53），将迁移加速度项分解为无旋和有旋两部分，则：,对于正压流体，压强和密度之间满足简单的状态方程pp（），在不考虑粘性阻力的情况下，例如理想流体的不可压流动或理想气体的等熵流动，则状态方程和欧拉方程、连续方程一起对 、p、u构成完整的求解系。因此，只要给出合理的边界条件和初始条件，无粘正压流体的流动从理论上来说都是可以求解的。但由于求解非线性的微分方程非常困难，目前只有十数种简单的实际流动和理论上的流动可求得解析解或精
7、确解。,pp（）,uu（）,f（p、u）0,2020/9/13,17,实际流体的流动不但有剪切力，而且法向应力也不再是流体静压力。 实际流体因受粘性影响，流体微团在运动中所受到的表面力不再与表面垂直，而是分解成一个与作用面垂直的法向应力（正应力）和两个彼此垂直且与作用面相切的切向应力（这些分应力的正负号按照右手螺旋法则来确定。）,四、纳维斯托克斯方程,2020/9/13,18,图4-2 实际流体运动的受力分析,M,dy,dz,dx,1.以应力表示的粘性流体运动方程,2020/9/13,19,质量力作用中心为中心点M，应力作用于各个表面的中心 惯性力： -dxdydz(dux/dt) 质量力：
8、dxdydzfx 表面力：(xx- xx )dydz+ (yx- yx)dzdx+ (zx- zx)dxdy,惯性力、质量力、表面力三者之和等于零，所以,2020/9/13,20,体积力,表面力梯度,当地加速度,迁移加速度,2020/9/13,21,应力项写成张量即矩阵形式,该矩阵是对称矩阵，只有6个分量是独立的。,应力矩阵,2020/9/13,22,证明为一对称矩阵,在实际流体运动的受力图中，将作用于流体微元上的所有表面力对过M点且平行于x轴的轴x取矩，用Jx表示流体微元的质量对x轴的转动惯量，由于质量力对任何通过点M的轴的矩均为零、平行于或垂直但交于x轴的表面力也不对x产生力矩，因此，流体
9、微元对x的动量矩方程可写为：,有：,代入并忽略高阶微量，就得：,2020/9/13,23,图4-2 实际流体运动的受力分析,M,2020/9/13,24,对比起欧拉方程，以上以应力表示的粘性流体运动方程多出了表面切应力项，必须补充这些切应力与流场参数之间的关系式，然后才能求解。否则，就连最简单的不可压粘性流动，都无法解决。 粘性流动问题分析中需要采用一些模型和假设来补充方程的个数，例如，联系流体内应力与速度变化率（变形率）的本构方程、联系湍流特征量与速度变化率的湍流数学模型等。,2020/9/13,25,本构方程原本指任何反映物质物理性质之间关系的方程；在流体力学中特指将流体内应力与变形率联系
10、起来的方程。 基本假定： 静止流体中切应力为零，正应力的数值为流体静压强p（即热力学平衡态压强）； 应力与变形速率之间存在线性关系。 流体是各向同性的。,2.本构方程,2020/9/13,26,切应力和角变形速率之间的关系:,从广义胡克定律出发，通过类比的方法可以得出流体正应力与线变形速率之间的关系,正应力,平均正应力,线应变,切变模量,弹性模量,泊松比,2020/9/13,27,在运动粘性流体中压强,2020/9/13,28,将以上本构关系,3.牛顿流体的运动方程,代入,得,为常数,压力合力,质量力,粘性变形力,粘性体积膨胀力,2020/9/13,29,对不可压缩流体（ 常数），由连续性方程
11、得：,N-S方程是三个椭圆形二阶偏微分方程的联合，N-S方程和连续性方程中包含的未知变量有u、p、，对于不可压流体，理论上是可以求解的。,矢量式,质量密度 加速度体积力压差力粘性力,2020/9/13,30,关于NS方程的求解途径,对于粘性不可压缩流体的方程而言，压力项及粘性性是线化的，而惯性项却是非线性的。这一非线性项的存在使得在解方程时，碰到很大的困难。 在理想不可压缩流体的 Euler 方程，虽然也存在非线性的惯性项，但是因为相当一部分的实际问题是无旋的。对于无旋流动，问题可归结为求解线性的Laplace方程，速度势求出后，压力可由拉格朗日积分或伯努力积分求出（动力学问题），问题得到了很
12、大的简化。 但是粘性不可压缩流体的运动中，运动都是有旋的，因而也不存在拉格朗日积分或伯努力积分，因此不得不求解原始的二阶偏微分方程组。到目前为止，还没有求解非线性偏微分方程到普遍有效的方法，在流体力学中，求解上述非线性偏微分方程组通常有两种主要途径：,2020/9/13,31,关于NS方程的求解途径,（1）准确解： 在一些简单到问题中，由于问题的特点，非线性的惯性项或者等于零，或者是非常简单的非线性方程组，此时基本方程组或者化为线性方程组，或者化为简单的非线性方程组，从而可以找出方程组的准确解来。但是具有准确解的问题为数很少，而且一般说来很少能直接地用到实际问题中去。 （2）近似解： 根据问题
13、到特点，略去方程中某些次要项，从而得出近似方程。在某些情况下，可以得出近似方程的解。这种途径称为近似方法，可采用近似方法求解的主要有下列两种情况：,2020/9/13,32,关于NS方程的求解途径,（a）小雷诺数Re情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力得到简化的线性方程。 （b）大雷诺数Re情况，若将粘性力全部略去，并且在物面上相应地提滑移边界条件，这就是理想流体的近似模型。在这个近似模型中无法求出符合实际的阻力。 进一步研究发现，在贴近物面很薄的一层边界层中，必须考虑粘性的影响，但此时根据问题的特点，可以略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程（仍是非线性的）。而
14、在边界层外，仍可将粘性全部忽略。这就是边界层理论，将在以后章节中介绍。 对于中等雷诺数Re的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求方程到数值解。以下将结合园管中和两块平行平板间的粘性不可压缩流体的定常层流流动来讲述准确解，结合圆球绕流问题介绍小雷诺数Re情况下的近似解。至于大Re数情况下的近似解将在以后的边界层理论中讲述。,2020/9/13,33,五、边界条件与初始条件,(1)固体壁面,粘性流体不滑移条件：流体与固体间无穿透且无相对滑动。,即切、法向速度连续u t= ut固；un = u n固,(2)外流无穷远条件:,u = u， p = p,(
15、3)内流出入口条件:,u = uin (out)， p = p in (out),(4)自由面条件:,(5)两种流体交界面：速度、压强、温度、切应力连续,2020/9/13,34,第二节 积分形式的基本方程,2020/9/13,35,系统广延量,控制体广延量,一、流体方程的随体导数, 输运公式,系统广延量的导数，称为系统导数。,控制体广延量随时间变化率, 称为当地变化率 ；当流场定常时为零。,通过控制面净流出的广延量流量, 称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。,输运公式计算取决于控制体(面)的选择,2020/9/13,36,二、积分形式的连续性方程,固体的控制体,上式表明：通过控制面净流出的质
16、流量等于控制体内流体质量 随时间的减少率。,输运公式可用于任何分布函数 ，如密度分布、动量分布、能量分布等。,令 ，由系统的质量不变可得连续性方程,对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为,2020/9/13,37,设出入口截面上的质流量大小为,1.沿流管的定常流动, 一般式, 有多个出入口,2.沿流管的不可压缩流动,设出入口截面上的体积流量大小为, 一般式, 有多个出入口,2020/9/13,38,*（二）运动的控制体,将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度vr,对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时,上式中，vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。,说明：流体运动的连续性方程是不涉及任何作用力的运动学方程，因此对实际流体和理想流体均适用。,2020/9/13,39,在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的
