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1、第9讲函数的应用,【2014年高考会这样考】 1考查二次函数模型的建立及最值问题 2考查分段函数模型的建立及最值问题 3考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及 最值问题 4合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系 式，从而研究其最值.,考点梳理,(1)一次函数模型：y_(a0)； (3)二次函数模型：y_(a0)； (4)指数函数模型：yN(1p)x(x0，p0)(增长率问题)； (5)对数函数模型yblogax(x0，a0且a1)； (6)幂函数模型yxn； (8)分段函数型,1常见的几种函数模型,axb,ax2bxc,2三种函数模型图象与性质比较,递增,递增,y轴,x轴
2、,一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 四个步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论,【助学微博】,A95元 B100元 C105元 D110元 解析设定价为(90 x)元，则每件商品利润为90 x80(10 x)(元)，利润y(10 x)(40020 x)20(x10)(20 x)20(x5)24 500，当x5时，
3、利润最大，故售价定为95元 答案A,考点自测,1将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为 (),A7 B8 C9 D10 答案D,解析纵轴表示离学校的距离，排除A，C，开始跑步，后慢慢走，说明函数开始下降较快，后来下降较慢 答案D,3某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再慢慢走余下的路程，图中纵坐标表示离学校的距离s，横坐标表示出发后的时间t，则如图所示的四个图形中较符合该学生走法的是 (),解析由lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震级为6级因为标准地震的振幅为
4、0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9lg 0.0019解得A9106，同理5级地震最大振幅A5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍 答案610 000,4(2011湖北)里氏震级M的计算公式为：Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍,解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为yaara(1r)， 2期后本利和为ya(1r)a(1r)ra(1r)2，
5、3期后本利和为ya(1r)3， x期后本利和为ya(1r)x，xN* 答案ya(1r)x，xN*,5(湘教版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是_,【例1】据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线,考向一一次函数、二次函数模型,l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km),(1)当t4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示
6、出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由 审题视点 正确理解s的意义及函数vf(t)的图象是解答此题的关键，该函数的定义域即风暴发生的时间由函数vf(t)的图象确定，即0t35.,(1)在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0) (2)当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量
7、的范围，特别是端点,(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系； (2)求日销售额S的最大值,(2)当1t30，tN时， S(t20)26 400， 当t20时，S的最大值为6 400； 当31t50，tN时，S90t9 000为减函数， 当t31时，S的最大值为6 210. 6 2106 400， 当t20时，日销售额S有最大值6 400.,考向二指数函数模型,(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； (3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%? 审题视点 本题信息量大，解析式较
8、繁，需要考生有较强的阅读理解能力和计算能力，同时，对题目的转化尤为重要，(2)中即证明g(t)递增；(3)中转化为解方程即可,(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示； (2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型 (3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解,【训练2】 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(,小时)之间近似满足如图所示的曲线,(1)写出第一次服药后
9、y与t之间的函数关系式yf(t)； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效求服药一次后治疗有效的时间是多长？,(1)该玩具厂生产多少万套吉祥物时，使得每万套成本费用最低？ (2)若产出的吉祥物能全部售出，产量多大时，厂家所获利润最大？ 审题视点 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件,考向三,当产量为(5b25)万套时，利润最大 当b45时，函数f(x)在(0,200上是增函数， 当产量为200万套时，f(x)max200ba6 000.,(1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值,【命题研究】 从近三年的高考试
10、题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力 预测2014年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题,规范解答2函数建模及函数应用问题,【真题探究】 (本小题满分12分)(2011江苏)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点 设AEFBx(cm),(1
11、)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值 教你审题 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解,阅卷老师手记 (1)在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，但应注意结果与实际情况相符合 (2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点,解函数应用题的一般程序是： 第一步：审题弄清题
12、意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模将文学语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性,【试一试】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该,店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000元,(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？,(2)设可在n年内脱贫， 依题意有12n45050 00058 0000，解得n20. 即最早可望在20年后脱贫,
