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1、目 录,绪 论 第一章 线性控制系统的状态空间描述 第二章 线性控制系统的运动与离散化 第三章 李雅普诺夫稳定性 第四章 线性控制系统的能控性和能观测性 第五章 状态反馈与状态观测器,1.1 状态空间描述的概念 1.2 一般时域描述化为状态空间描述 1.3 频域描述化为状态空间描述 1.4 状态变量图列写线性系统的状态空间描述 1.5 系统方块图导出状态空间描述 1.6 将状态方程化为规范型 1.7 附 录,系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入单输
2、出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法状态空间分析法。,1.1 状态空间描述的概念
3、,1.数学描述的三种形式 例1.1：设有如图1.1所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。 解：可以得到三种形式的数学描述。 列写该回路的微分方程 ： 消去中间变量 ： 传函表示形式：,一、基本定义,图1.1 R-L-C网络,一阶微分方程表示形式： 向量矩阵表示形式：,例1.2：设有如图1.2所示的机械系统，试求其数学描述。,图1.2 机械系统,-弹性系数,阻尼系数,位移,解：根据牛顿力学原理：,令 ， 则动态方程：,向量矩阵表示形式：,2.内部描述与外部描述 从上述例题中看出,描述可分为两种基本类型：外部描述和内部描述： 1） 外部描述( 输入-输出描述)：描述的前提是把系统视为一个“黑箱”
4、，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入输出间的因果关系。表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。 2) 内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统内部变量组及输入变量 组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。,3.定义,状态空间分析法:以状态向量描述、分析系统性能的方法称为状态空间分析法。它具有下列优越之处：便于在数字机上求解；容易考虑初始条件；能了解并利用处于系统内部的状态信息；数学描述简化；适于描述多输入多输出、时变、非线性、随
5、机、离散等各类系统，例如倒立摆控制系统、航天器控制系统、导弹控制系统、机器人控制系统。因此状态空间分析法是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系统的基本描述方法。,二、被控过程的状态空间描述,1.被控过程的动力学描述及控制系统方框图. ）被控过程动力学描述,2) 控制系统 2.状态空间描述的建立 方法:把一个高阶微分方程化为所确定的状 态变量相应的一阶微分方 程组,然后用向量矩阵形式表示. 例1.3 R-C-L 网络如图所示。e(t)-输入变 量， -输出变量。试求其状态空间描 述 解：1) 确定状态变量 选 和 构成最小变量组, 组成状态向量 x= ,uc,图1.4 控制系统方框图
6、,图1.5 R-L-C网络,2) 列写网络方程并化为一阶微分方程组: 消去不是所确定的状态变量,即将 代入 由(3)式得 由(4)式得 (5)式代入(6)式 ：,3) 状态空间描述 输出方程: 令：,状态方程：,令状态向量 因此状态空间描述的数学模型可表示为状态方程和输出方程. 即为 n维系统状态空间描述为(线性定常系统） 其中： x为n维。输入向量u为r维。输出向量y为m维。n维线性时 变系统。,- 状态方程,- 输出向量（ 测量方程）,输入向量:,输出向量:,在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量为 ，则一般形式的
7、状态空间描述写作：,式中常系数 ； 与系统特性有关。,SISO线性定常系统的状态空间描述：,以上方程可写成矩阵形式：,输入矩阵，n1列矩阵。,式中：,n维状态矢量,系统矩阵， nn矩阵。,：输出矩阵，1n行矩阵），d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。,MIMO线性定常系统（r个输入，m个输出）的状态空间描述,状态空间描述为：,写成矩阵形式有：,其中：,常用符号：,系统框图,注:负反馈时为,注：有几个状态变量，就建几个积分器,积分器,比例器,加法器,图1.6 线性系统方块图,线性时变系统状态空间描述：,其中：,状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程.因此它提示
8、了问题的本质. 输入引起的状态变化是一个运动过程,用状态方程表示. 系统的状态变量个数仅等于系统包含的独立贮能元件的个数. 对于给定系统,状态变量的选择不是唯一的. 一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量.但从便于控制系统的结构来说,把状态变量选为可测量或可观察更为合适. 系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法.,三、系统状态空间描述的特点,1 定义 非线性系统：当且仅当其状态空间描述 中向量函数f 和g 至少 包含一个元为变量 和 的非线性函数，则相 应系统为非线性系统。 线性系统：若向量方程 f (x,u,t)和 g (x,u,t)的所有元都是变量 和 的线性函数，则为
9、线性系统。,一 线性系统和非线性系统,四、系统按其状态空间描述分类, 线性系统方框图,二 时变系统和时不变系统 时变系统：当且仅当系统的状态空间描述中显含时间 t 时，即向量函数 f 和 g或系统矩阵A、B、C、D是 t 的函数时，则为时变系统。也 称之为非定常系统。 时不变系统：其状态空间描述中不显含时间 t 。又称定常系统。 其表达式为：,定常线性系统,定常非线性系统,三 连续系统和离散系统 连续系统：不管是作用于系统的变量，还是表征系统形状的变量，都 是时间 t 的连续变化过程。 离散系统：当系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间 的因果关系或变换关系，就必须采用离散时间系统来
10、表征。 描述为：,线性定常离散系统：,确定系统：是指系统的特性和参数是按确定的规律而变化的，且其各个输 入变量（控制、扰动）也是按确定的规律而变化的。 随机系统：与上相反。,步骤： 根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程； 选择有关的物理量作为状态变量； 导出状态空间表达式。 状态变量的选取原则: 系统储能元件的输出; 系统输出及其各阶导数; 使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）;,五、由系统机理建立状态空间描述,解: 1) 选择状态变量 两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。,电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量，u
11、A为输出量的状态空间表达式。,例1.4,2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,整理得：,3）状态空间表达式为：,例1.5 试列出在外力f作用下，以质量 的位移 为输出的状态空间描述。,解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：,则有：,及：,将所选的状态变量:,代入上式并整理出状态方程得：,输出方程：,状态方程：,写成矩阵形式：,1.2 一般时域描述化为状态空间描述,在经典控制理论中,控制系统的时域模型为: 线性定常系统的状态空间表达式为: 要解决的问题:选取适当的状态变量,并由 定出相应的系数矩阵A、B、C、D。,形式： 1.选择状态变量. 若给定初始条件 则系统行为被完
12、全确定，故选择 为系统的一组状态变量. 令： 2.将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程组.,一、方程中不包含输入函数的导数.,3.化为向量形式 状态方程为: 输出方程为:,系统结构图,注： 状态变量是输出y及y的各阶导数； 系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为友矩阵或相伴矩阵。,例1.6 设系统输入-输出微分方程为: 解：若 ，则,可导出状态方程和输出方程：,二、方程中包含输入函数的导数,如果单输入-单输出系统的微分方程形式为： 状态变量选择原则：使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。 1.选择状态变量 令：,(1),(2),式
13、中系数 待定。 用 分别乘公式(2)中相应方程的两端，并移项，得: 不难看出，上述各方程左端相加等于方程(1)的左端，因此上述各方程右端相加也应该等于线性微分方程的右端，即:,(3),根据公式(4)左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到:,(4),(5),2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出关系式. 考虑到: 对(2)式求导,可得:,(6),(7),3.化为向量形式 状态方程: 输出方程:,(8),(9),例1.7 系统输出-输入微分方程为: 系数: 按(5)式求得 状态变量为,状态空间描述:,输出方程:,1.3 频域描述化为状态空间描述,控制系统的频域描述（传递函数） 化为状态空间
14、描述.方法采用部分分式法. 一、控制系统传递函数的极点为两两相异. 若传函极点为两两相异极点.将公式(1)化为部分分式的形式为: 式中 为系统中两两相异极点.,(1),(2),为待定系数. 可按下式计算： 1.选择状态变量 令 为状态变量的拉氏变换式, 则：,(4),(3),(5),2.化为状态变量的一阶方程组,(6),(7),及 对上式进行拉氏反变换, 得：,(8),(9),3.向量形式 即状态方程： 称其为对角线规范形。,(10),(11),例1.8 设 ,试求其状态空间描述. 解: 其极点为 ,而待定常数为: 相应的状态空间描述为:,二、控制系统传递函数的极点为重根. 1.传递函数的极点
15、为一个重根. 形式: s1为n重极点， 为待定常数。按下式计算： 1）选择状态变量,(12),(13),(14),2）化为状态变量的一阶方程组： 及：,(15),(16),3）向量形式：,例1.9 设 ,三重极点为s=2,待定常数,对上式进行拉氏反变换：,(17),(18),状态空间描述为： 2.传递函数的极点为k个重根. 设 为 重根, 为 重根, , 为 重根,且,状态空间描述为:,(19),及 令,(20),(21),故: 称为Jordan(约当)规范形. 三. 控制系统传递函数同时具有单极点和重极点 令 为单极点, 为 重极点, , 为 重极点, 且,(22),(23),状态方程为：,(24),输出方
