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1、1.4 生活中的优化问题举例,一、如何判断函数的单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,设函数y=f(x) 在 某个区间内可导，,二、如何求函数的极值与最值？,求函数极值的 一般步骤,（1）确定定义域 （2）求导数f(x) （3）求f(x)=0的根 （4）列表（5）判断,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤,(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值；,(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b）比较,从而确定函数的最值,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决
2、一些生活中的优化问题.,1.了解导数在实际问题中的应用； 2.对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用； 3.利用导数知识解决实际中的最优化问题； （重点） 4.将实际问题转化为数学问题，建立函数模型. （难点）,探究点1 海报版面尺寸的设计 例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,图3.4-1,因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点.所以，当版心高为16
3、dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小.,解法二：由解法(一)得,2.在实际应用题目中，若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.,总结提升,1.设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义.,(所说的区间也适用于开区间或无穷区间),探究点2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中
4、r是瓶子的半径(单位:cm)，已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm， 问题： ()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？,解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：,-,+,减函数,增函数,-1.07p,因此，当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高； 当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低. .半径为2cm时，利润最小,这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值； .半径为6cm时，利润最大.,从图中，你还能看出什么
5、吗？,当0r3时，利润为负值；当r3时，利润为零；当r3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大.,例3 磁盘的最大存储量问题 计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的 圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道 是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角 分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧可作为基本 存储单元，根据其磁化与否可分别 记录数据0或1，这个基本单元 通常称为比特（bit）.,为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m， 每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索 便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题：现有一张半径为R的磁盘，它
6、的存储区是半径 介于r与R之间的环形区域 是不是r越小，磁盘的存储量越大？ r为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？,解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数. 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的 宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息， 故磁道数最多可达 .由于每条磁道上的比特数 相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满， 即每条磁道上的比特数可达 . 所以磁盘总存储量,(1)它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以 判断，不是r越小，磁盘的存储量越大 (2)为求 的最大值，计算 令 ，解得 当 时， ；当 时， 因此当 时，磁盘具有最大存储
7、量, 此时最大存储量为,解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学 模型,作答,一、选择题 1三次函数当x1时，有极大值4；当x3时， 有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） Ay 6 9x By 6 9x Cy 6 9x Dy 6 9x,B,解：f(x) 3b3( b)，令f(x)0，即 b0， 由已知可得b0，x 或 (舍去)， 又0 1，0b1.
8、,2函数f(x)x33bx3b(b0)在(0,1)内有极小 值，则( ) A00 Db,A,D,C,二、填空题 5面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是 ,6.在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,解：设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)(602x)2x(00， 当10x30时，V(x)0. 所以当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm3),答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，
9、 箱子的容积最大，最大容积为16000cm3. 点评在解决实际应用问题中，如果函数在 区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义 判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数 值进行比较,1.解决优化问题的基本思路：,优化问题,优化问题的答案,用导数解决数学问题,2.导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题.,3.解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.,卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不挠. 贝多芬,
