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1、1.4 生活中的优化问题举例,一、如何判断函数的单调性?,f(x)为增函数,f(x)为减函数,设函数y=f(x) 在 某个区间内可导,,二、如何求函数的极值与最值?,求函数极值的 一般步骤,(1)确定定义域 (2)求导数f(x) (3)求f(x)=0的根 (4)列表(5)判断,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤,(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值;,(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,从而确定函数的最值,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,本节我们运用导数,解决
2、一些生活中的优化问题.,1.了解导数在实际问题中的应用; 2.对给出的实际问题,如使利润最大、效率最高、用料最省等问题,体会导数在解决实际问题中的作用; 3.利用导数知识解决实际中的最优化问题; (重点) 4.将实际问题转化为数学问题,建立函数模型. (难点),探究点1 海报版面尺寸的设计 例1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小?,图3.4-1,因此,x=16是函数S(x)的极小值点,也是最小值点.所以,当版心高为16
3、dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最小.,解法二:由解法(一)得,2.在实际应用题目中,若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ,则不需与端点比较, f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.,总结提升,1.设出变量找出函数关系式;确定出定义域;所得结果符合问题的实际意义.,(所说的区间也适用于开区间或无穷区间),探究点2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们的价格如下表所示,则 (1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大?,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中
4、r是瓶子的半径(单位:cm),已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm, 问题: ()瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? ()瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?,解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为:,-,+,减函数,增函数,-1.07p,因此,当r2时,f(r)0,它表示f(r)单调递增,即半径越大,利润越高; 当r2时,f(r)0,它表示f(r)单调递减,即半径越大,利润越低. .半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值; .半径为6cm时,利润最大.,从图中,你还能看出什么
5、吗?,当0r3时,利润为负值;当r3时,利润为零;当r3时,利润为正值,并随着瓶子半径的增大利润也相应增大.,例3 磁盘的最大存储量问题 计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的 圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道 是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇区是指被圆心角 分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧可作为基本 存储单元,根据其磁化与否可分别 记录数据0或1,这个基本单元 通常称为比特(bit).,为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于m, 每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索 便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题:现有一张半径为R的磁盘,它
6、的存储区是半径 介于r与R之间的环形区域 是不是r越小,磁盘的存储量越大? r为多少时,磁盘具有最大存储量 (最外面的磁道不存储任何信息)?,解:由题意知:存储量=磁道数每磁道的比特数. 设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的 宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息, 故磁道数最多可达 .由于每条磁道上的比特数 相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满, 即每条磁道上的比特数可达 . 所以磁盘总存储量,(1)它是一个关于r的二次函数,从函数解析式上可以 判断,不是r越小,磁盘的存储量越大 (2)为求 的最大值,计算 令 ,解得 当 时, ;当 时, 因此当 时,磁盘具有最大存储
7、量, 此时最大存储量为,解决优化问题的方法之一:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决在这个过程中,导数往往是一个有利的工具,其基本思路如以下流程图所示:,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学 模型,作答,一、选择题 1三次函数当x1时,有极大值4;当x3时, 有极小值0,且函数过原点,则此函数是( ) Ay 6 9x By 6 9x Cy 6 9x Dy 6 9x,B,解:f(x) 3b3( b),令f(x)0,即 b0, 由已知可得b0,x 或 (舍去), 又0 1,0b1.
8、,2函数f(x)x33bx3b(b0)在(0,1)内有极小 值,则( ) A00 Db,A,D,C,二、填空题 5面积为S 的一切矩形中,其周长最小的是 ,6.在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱高为xcm,则箱底边长为(602x)cm,则得箱子容积V是x的函数, V(x)(602x)2x(00, 当10x30时,V(x)0. 所以当x10时,V(x)取极大值,这个极大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm3),答:当箱子的高为10cm,底面边长为40cm时,
9、 箱子的容积最大,最大容积为16000cm3. 点评在解决实际应用问题中,如果函数在 区间内只有一个极值点,那么只需根据实际意义 判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数 值进行比较,1.解决优化问题的基本思路:,优化问题,优化问题的答案,用导数解决数学问题,2.导数在实际生活中的应用方向:主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: (1)与几何有关的最值问题; (2)与物理学有关的最值问题; (3)与利润及其成本有关的最值问题; (4)效率最值问题.,3.解决优化问题的方法: 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.,卓越的人一大优点是:在不利与艰难的遭遇里百折不挠. 贝多芬,