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1、【备战2013高考数学专题讲座】第8讲：数学思想方法之数形结合思想探讨江苏泰州锦元数学工作室 编辑数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。中学基础数学的基本知识分三类：一是数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；二是形的知识，如平面几何、立体几何等；三是数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法，根据解决问题的需要，可以
2、把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（以形助数），即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（以数辅形），即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查。数与形转换的三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数
3、等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。数形结合的三种主要解题方式：（1）数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决；（2）形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题；（3）)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了。运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则：（1）等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；（2）双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；（3）简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效
4、、简便和更易达到解决问题的目的。运用数形结合思想分析解决问题时的三点注意事项：（1）要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准确，明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）要正确确定参数的取值范围。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面七方面探讨数形结合思想的应用：（1）数形结合思想在集合问题中的应用；（2）数形结合思想在函数问题中的应用；（3）数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用；（4）数形结合思想在方程与不等式问题中的应用；（5）数形结合思想
5、在三角函数问题中的应用；（6）数形结合思想在平面向量问题中的应用；（7）数形结合思想在立体几何问题中的应用。一、数形结合思想在集合问题中的应用：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年全国大纲卷文5分）已知集合=是平行四边形，=是矩形，=是正方形，是菱形，则【 】A. B. C. D.【答案】B。【考点】集合的概念，集合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项A、C、D错误，选项B正确。故选B。例2.（2
6、012年上海市文4分）若集合，则 【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，。例3.（2012年山东省文5分）函数的定义域为【 】 A B C D 【答案】B。【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得，解得。 函数的定义域为。故选B。例4. （2012年重庆市理5分）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为【 】（A） （B） （C） （D） 【答案】D。【考点】线性规划中可行域的画法，双曲线和圆的对称性。【分析】，或。 又， 满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分和。的图象都
7、关于直线对称，和区域的面积相等，和区域的面积相等，即圆内部分和的面积之和为单位圆面积的一半，为。故选D。二、数形结合思想在函数问题中的应用：函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。特别地，数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年山东省理5分） 设 ，则“函数在R上是减函数 ”，是“函数在R上是增函数”的【 】A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条
8、件 D 既不充分也不必要条件【答案】A。【考点】充分必要条件的判断，指数函数和幂函数的性质。【解析】p：“函数在R上是减函数 ”等价于，q：“函数在R上是增函数”等价于且，即且，p是q成立的充分不必要条件.。故选A。例2. （2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：，则m的取值范围是 【答案】。【版权归锦元数学工作室，不得转载】【考点】简易逻辑，函数的性质。【解析】由得。 条件，当时，。 当时，不能做到在时，所以舍去。 作为二次函数开口只能向下，且此时两个根为。 为保证条件成立，必须。 又由条件的限制，可分析得出时，恒负。 就需要在这个范围内有得正数的可能，即4应该比两根中小的那个大。
9、由得， 当时，解得交集为空集，舍去。 当时，两根同为24，舍去。当时，。综上所述，。例3. （2012年全国大纲卷理5分）已知函数的图像与轴恰有两个公共点，则【 】A或2 B或3 C或1 D或1【答案】A【考点】导数的应用。【解析】若函数图像与轴有两个不同的交点，则需要满足其中一个为零即可。因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可知只有在极大值点或者极小值点有一点在轴时满足要求（如图所示）。 ，。 当时，函数取得极值。由或可得或，即。故选A。例4. （2012年全国课标卷理5分）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为【 】 【答案】。【考点】反函数的性质，导数的应用。【解析】函
10、数与函数互为反函数，它们的图象关于对称。 函数上的点到直线的距离为 设函数，则，。 由图象关于对称得：最小值为。故选。例5. （2012年北京市理5分）某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为【 】A.5 B.7 C.9 D.11【答案】C。【考点】直线斜率的几何意义。【解析】据图像识别看出变化趋势，利用变化速度可以用导数来解，但图像不连续，所以只能是广义上的。实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S与n的商：，在图象上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比。 因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一
11、点与坐标原点连线的倾斜角最大。图中可见。当n=9时，倾斜角最大。从而m值为9。故选C。例6. （2012年天津市理5分）函数在区间内的零点个数是【 】（A）0 （）1（）2（）3【答案】B。【考点】函数的零点的概念，函数的单调性，导数的应用。【分析】，函数在定义域内单调递增。 又，。 函数在区间（0，1）内有唯一的零点。故选B。例7. （2012年山东省理5分）设函数，若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1）,B(x2，y2),则下列判断正确的是【 】A. 当a0时，x1x20 B. 当a0， y1y20时，x1x20，y1y20时，x1x20， y1y20【答案】B。【考点】导
12、数的应用。【解析】令，则。设，。令，则要使的图像与图像有且仅有两个不同的公共点必须：，整理得。取值讨论：可取来研究。当时，解得，此时，此时；当时，解得，此时，此时。故选B。例8. （2012年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【 】（A）函数有极大值和极小值 （B）函数有极大值和极小值 （C）函数有极大值和极小值 （D）函数有极大值和极小值【答案】D。【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。【分析】由图象知，与轴有三个交点，2，1，2， 。 由此得到， ，和在上的情况：212000000极大值非极值极小值 的极大值为，的极小值为。故
13、选D。例9. （2012年天津市理5分）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .【答案】。【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。【分析】函数，当时，当时，综上函数。作出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是。例10. （2012年福建省理4分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 【答案】。【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用。【解析】根据新运算符号得到函数为， 化简得：。如图，作出函数和的图象，如果有三个不同的实数解，即直线与函数f(x)的图象有三个交点，如图，（1）当直线过抛物线的顶点或时，有两个交点；（2）当直线中时，有一个交点；（3）当直线中时，有三个交点。【版权归锦元数学工作室，不得转载】设三个交点分别为：x1，x2，x3，且依次是从小到大的顺序排列，所以x1即为方程2x2x小于0的解，解得x1
