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1、4 偏微分方程的数值解法一、 差分法 差分法是常用的一种数值解法.它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值. 1. 网格与差商图14.7 在平面 (x,y)上的一以S为边界的有界区域D上考虑定解问题.为了用差分法求解，分别作平行于x轴和y轴的直线族. (i,j=0,1,2,n) 作成一个正方形网格，这里h为事先指定的正数，称为步长；网格的交点称为节点，简记为(i,j).取一些与边界S接近的网格节点，用它们连成折线Sh，Sh所围成的区域记作Dh.称Dh内的节点为内节点，位于Sh上的节点称为边界节点（图14.7）.下面都在网格Dh + Sh上考虑问
2、题：寻求各个节点上解的近似值.在边界节点上取与它最接近的边界点上的边值作为解的近似值，而在内节点上，用以下的差商代替偏导数： 注意， 1 式中的差商称为向后差商，而称为向前差商，称为中心差商.也可用向前差商或中心差商代替一阶偏导数. 2 x轴与y轴也可分别采用不同的步长h,l，即用直线族 (i,j=0, 1, 2 )作一个矩形网格. 2. 椭圆型方程的差分方法 五点格式 考虑拉普拉斯方程的第一边值问题式中(x,y)为定义在D的边界S上的已知函数. 采用正方形网格，记u(xi,yj)=uij ，在节点(i,j)上分别用差商代替，对应的差分方程为 （1）或即任一节点(i,j)上uij的值等于周围相
3、邻节点上解的值的算术平均，这种形式的差分方程称为五点格式，在边界节点上取 （2）式中(xi*,yj*)是与节点(i,j)最接近的S上的点.于是得到了以所有内节点上的uij值为未知量的若干个线性代数方程，由于每一个节点都可列出一个方程，所以未知量的个数与方程的个数都等于节点的总数，于是，可用通常的方法（如高斯消去法）解此线性代数方程组，但当步长不很大时，用高斯消去法将会遇到很大困难，可用下面介绍的其他方法求解. 若h0时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分方程为收敛的. 在计算过程中，由于进行四则运算引起舍入误差，每一步计算的舍入误差都会影响以后的计算结果，如果这种影响所产生的计算偏差可以
4、控制，而不至于随着计算次数的增加而无限增大，则称差分方程是稳定的. 迭代法解差分方程 在五点格式的差分方程中，任意取一组初值uij，只要求它们在边界节点(i,j)上取以已知值(xi*,yj*)，然后用逐次逼近法（也称迭代法）解五点格式：逐次求出uij(n).当(i+1,j)，(i1,j)，(i,j1)，(i,j+1)中有一点是边界节点时，每次迭代时，都要在这一点上取最接近的边界点的值.当n时，uij(n)收敛于差分方程的解，因此n充分大时，uij(n)可作差分方程的近似解，迭代次数越多，近似解越接近差分方程的解. 用调节余数法求节点上解的近似值 以差商代替u时，用节点(i+1,j)，(i1,j
5、)，(i,j+1)，(i,j1)上u的近似值来表示u在节点(i,j)的值将产生的误差，称此误差为余数Rij，即图14.8 设在(i,j)上给uij以改变量uij，从上式可见Rij将减少4uij，而其余含有u(xi,yj)的差分方程中的余数将增加uij，多次调整uij的值就可将余数调整到许可的有效数字的范围内，这样可获得各节点上u(x,y)的近似值.这种方法比较简单，特别在对称区域中计算更简捷. 例 求u=0在内节点A,B,C,D上解的近似值.设在边界节点1,2,3,4上分别取值为1,2,3,4（图14.8） 解 记u(A)=uA，点A,B,C,D的余数分别为4uA+ uB+ uc +5=RA
6、uA4 uB + uD+7=RB uA 4 uc+ uD+3=RC uB+ uc4uD+5=RD 以边界节点的边值的算术平均值作为初次近似值，即uA(0)=uB(0)=uC(0)=uD(0)=2.5则相应的余数为：RA=0, RB=2, RC= 2, RD=0最大余数为2.先用uC=0.5把RC缩减为零，uC相应地变为2，这时RA, RD也同时缩减(0.5)，新余数是RA=0.5,RB=2, RD=0.5.类似地再变更uB=0.5，从而 uB变为3，则得新余数为.这样便可消去各节点的余数，于是u在各节点的近似值为：uA=2.5, uB=3, uC=2, uD=2.5 现将各次近似值及余数列表如
7、下：次数调 整 值第n次近似值及余数uARAuBRBuCRCuDRD012uC = 0.5uB = 0.52.52.52.500.502.52.532 202.5222002.52.52.500.50结果近似值2.5322.5 解重调和方程的差分方法 在矩形D(x0xx0+a,y0yy0+a)中考虑重调和方程取步长，引直线族 (i, j = 0, 1, 2 n)作成一个正方形网格.用差商代替偏导数图14.9上式表明了以(x,y)为中心时，u(x,y)的函数值与周围各点函数值的关系，但对于邻近边界节点的点(x,y)，如图14.9中的A，就不能直接使用上式，此时将划分网格的直线族延伸，在延伸线上定
8、出与边界距离为h的点，称这些点为外邻边界节点，如图14.9以A为中心时，点E,C为边界节点，点J,K为E,C的外邻边界节点，用下法补充定义外邻边界节点J处函数的近似值uJ，便可应用上面的公式.1 边界条件为时，定义uJ=uA22(E)h.2 边界条件为时，定义uJ=21(E)uAh22(E). 其他与u有关的网格 1 三角网格（图14.10(a)） 取P0(x,y)为中心，它的周围6个邻近节点分别为：则 式中ui=u(Pi), u0=u(P0)，R表示余项. 2 六角网格（图14.10(b)） 取P0(x,y)为中心，它的三个邻近节点分别为则 .图14.10 3 极坐标系中的网格（图14.10
9、(c)） 取P0(r,)为中心，它的四个邻近节点分别为而拉普拉斯方程的相应的差分方程为 3. 抛物型方程的差分方法 考虑热传导方程的边值问题将0,b分为n等份，每段长为.引两族平行线（图14.11）图14.11x=xi=ix (i=0,1,2n)y=yj=jt (j=0,1,2 t 取值见后)作成一个长方形的网格，记u(xi,tj)为uij，节点(xi,tj)为(i,j)，在节点(i,j)上分别用代替，于是边值问题化为差分方程记，差分方程可写成 （1）由此可按t增加的方向逐排求解.在第0排上ui0的值由初值(ix)确定，j+1排ui,j+1的值可由第j排的三点(i+1,j),(i,j),(i1
10、,j)上的值ui+1,j, uij,ui-1,j确定，而u0,j+1,un,j+1已由边界条件1(j+1)t)及2(j+1)t)给定，于是可逐排计算一切节点上的uij值.当(x), 1(x)和2(x)充分光滑，且时，差分方程收敛而且稳定.所以利用差分方程（1）计算时，必须使，即. 热传导方程还可用差分方程代替，此时如已知前j排uij的值，为求第j+1排的ui,j+1 必须解包含n1个未知量的线性代数方程组，这种差分方程称为隐式格式的差分方程，前面所提的差分方程称为显式格式差分方程. 隐式格式差分方程对任意的都是稳定的. 4. 双曲型方程的差分方法 考虑弦振动方程的第一边值问题 用矩形网格，列出
11、对应的差分方程： 记与上段一样，利用和在第0排及第1排的已知数值（初始条件）ui0 , ui1可计算ui2，然后用已知的ui1 , ui2及可计算ui3,类似地可确定一切节点上的uij值. 当(x),(x),1(x)和2(x)充分光滑，且1时，差分方程收敛且稳定，所以要取.二、 变分方法 1. 自共轭边值问题 将3定义的共轭微分算子的概念推广到一般方程. 设D是中的有界区域，S为其边界，在上考虑2k阶线性微分方程的齐次边值问题式中f(x)是D内的已知函数，lju是线性微分算子. 将 分部积分k次得式中(u,v)是一个D上的积分，其被积函数包含u,v的k阶导数；Rj和是定义在边界S上的两个线性微
12、分算子.再将(u,v)分部积分k次得式中L*是一个2k阶的微分算子，称为L的共轭微分算子.若L=L*，则称L为自共轭微分算子.从上面可推出格林公式如从lju|S=ljv|S=0可推出在边界S上则称lju|S=0为自共轭边界条件.如果微分算子及边界条件都是自共轭的，则称相应的边值问题为自共轭边值问题，此时有 每个边值问题对应于某希尔伯特空间H（例如L2(D)，见第九章7）中的一个算子A，其定义域MA 是H中一线性稠密集合，它由足够次连续可微且满足边界条件的函数组成，在MA上，Au的数值与Lu的数值相同，从而求解边值问题化为解算子方程的问题. 设A为定义在实的希尔伯特空间H中的某线性稠密集合MA上
13、的线性算子.若对于MA的任意非零元素成立(Au,v)=(u,Av)则称A为对称算子.若对任意非零元素u成立则称A为正算子.如成立更强的不等式(Au,u)r|u|2 (r0)则称A为正定算子.此处(u,v)表示希尔伯特空间的内积，|u|2=(u,u). 2. 变分原理与广义解 定理 设A是正定算子，u是方程Au=f在MA上的解的充分必要条件是： u使泛函F(u)=(Au,u)2(f,u)取极小值. 上述将边值问题化为等价的求泛函极值问题的方法称为能量法.在算子的定义域不够大时，泛函F(u)的极值问题可能无解.不过对于正定算子，可以开拓集合MA，使在开拓了的集合上，泛函的极值问题有解.为开拓MA，在MA上引进新的内积u,v=(Au,v)，定义模|u|2=u,u=(Au,u)，在模|u|的意义下，补充极限元素，得到一个新的完备希尔伯特空间H0，在H0上，泛函F(u)仍然有意义，而泛函的极值问题有解.但必须注意，此时使泛函F(u)取极小的元素u0不一定属于MA，因此它不一定在原来的意义下满足方程Au=f及边界条件.称u0为广义解. 3. 极小化序列与里兹
