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1、推理,合情推理,演绎推理,归纳,类比,三段论,本节知识结构,推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程。,复习提问：,一.推理,推理,合情推理,演绎推理,二.合情推理,先根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想; 再进行归纳、类比; 然后提出猜想的推理.统称为合情推理.,1.合情推理的概念,2.合情推理的过程,从具体问题出发,观察、分析比较、联想,归纳类比,提出猜想,数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.,3.合情推理的作用,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种
2、猜想,未必可靠.,说明:,与合情推理一样，演绎推理也是日常活动和科学研究中经常使用的一种推理形式。特别地，数学证明主要通过演绎推理来进行。,什么是演绎推理？它与合情推理有哪些不一样？,下面,我们共同学习-,演绎推理,2.1.2演绎推理,数学中,常以某些一般的判断为前提,得出一些个别的、具体的判断.,(1)所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电;,(2)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此,冥王星以椭圆轨道饶太阳运行;,1. 例题引入,(3)在一个标准大气压下, 水的沸点是100oC, 所以在一个标准大气压下把水加热到100oC时,水会沸腾;,三.演绎推理
3、,(4)一切奇数都不能被2整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除;,(5)三角函数都是周期函数,tan是三角函数,因此tan是周期函数;,(6)两条直线平行,同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角,那么A+B=180o.,以上推理有何特征?,请问:,一般到特殊,从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(又称逻辑推理),简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.,2. 演绎推理的定义,上面列举的演绎推理的例子都有三段，又称为“三段论”。,(1)所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电;,第三段称为“结论”,如“铀能够导电”,是
4、所得的结论.,下面以题(1) 为例说明：,第一段称为“大前提”,如“所有的金属都能够导电”,讲的是一个一般的原理;,第二段称为“小前提”,如“铀是金属”,指的是一种特殊情况;,“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:,大前提 已知的一般原理; 小前提 所研究的特殊情况; 结 论 根据一般原理,对特殊情况 做出的判断.,你能再举出一些用“三段论”推理的例子吗?,3.三段论,(1).“三段论”的一般模式,(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,例6 如图所示,在锐角三角形ABC中, ADBC,BEAC,D,E是垂足.求证:AB的中点M到D,E的距离相等.,证明:,在ABC中,ADBC,即AD
5、B=90o,所以ADB是直角三角形，,同理,AEB也是直角三角形.,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半相等证明,分析:,大前提,小前提,结 论,(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,而M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,所以DM=AB/2,同理,EM=AB/2.,所以,DM=EM,大前提,小前提,结 论,(2).“三段论” 的表示,大前提: M是P. 小前提: S是M. 结 论: S是P.,我们可以利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.,(1)应用“三段论”解决问题时,首先应该明确什么是大前提
6、和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.,说明:,(2) 应用“三段论”进行推理的过程中, 大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.,例7.证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,分析:,证明本例所依据的大前提是:增函数的定义,即函数y=f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值x1,x2,若x1x2,则有f(x1)f(x2).,小前提是:f(x)=-x2+2x,x(-,1满足增函数的定义,这是证明本例的关键.,任取x1,x2(-,1,且x1x2,证明:,f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2),=(x2-x1)(x2+
7、x1-2),因为x10;,因为x1,x21,x1x2,所以x1+x2-20.,因此,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).,f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.,于是,根据“三段论”，可知:,注意:,思考,所以菱形是正多边形,因大前提是错误的(因为所有边长都相等,内角也相等的凸多边形才是正多边形),所以所得的结论是错误的.,(1)上面的推理形式正确吗? (2)推理的结论正确吗?为什么?,因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,大前提,而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前提,结 论,例:,正确,错误,至此,我们学
8、习了两种推理方式:,合情推理与演绎推理有何区别?,合情推理与演绎推理.,从推理形式上看:,四.合情推移与演绎推理的主要区别,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明; 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.,演绎推理是由一般到特殊的推理,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理.,类比是有特殊到特殊的推理;,合情推理包括归纳和类比,从推理所得的结论来看:,合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色.,人们在认识世界的过程中,往往:,(1)需要通过观察、实验等获取经验;,(2)需要辨别它们的真伪;,(3)将积累的知识加工、整理,使之条理化、系统化.,就数学而言:,因此,
9、我们不仅要学会证明,也要学会猜想.,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程;,数学结论、证明思路等的发现, 主要靠合情推理.,1. 例题引入,三.演绎推理,演绎推理是由一般到特殊的推理.,2.演绎推理的定义,3.三段论,(1).“三段论”的一般模式,大前提 已知的一般原理; 小前提 所研究的特殊情况; 结 论 根据一般原理,对特殊情 况做出的判断.,(2).“三段论” 的表示,大前提: M是P. 小前提: S是M. 结 论: S是P.,在应用“三段论”进行推理的过程中, 大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误.,从推理形式上看:,四.合情推移与演绎推理的主要区别,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明; 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.,演绎推理是由一般到特殊的推理,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理.,类比是有特殊到特殊的推理;,合情推理包括归纳和类比,从推理所得的结论来看:,作业,1.P42练习1、2、3、4 2.P44习题2.1 A组 7; B组3,
