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1、考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,1.推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的考查无处不在.从近几年的高考题来看，大部分题目主要考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中常考的题型之一. 2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的一项重要内容. 3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法的证题思路判断、分析命题有独到之处.,返回目录,1.由某类事物的部分对象具有某
2、些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是 、 .,由部分到整体,由个别到一般的推理,返回目录,2.由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是 . 3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 4.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理 是 . 5.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
3、,由特殊到特殊的推理,归纳推理,类比推理,由一般到特殊的推理,返回目录,（1） 已知的一般原理； （2） 所研究的特殊情况； （3） 根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 6.一般地,利用已知条件和某些数学 、 、 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 7.一般地,从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为 为止,这种证明方法叫做分析法.,大前提,小前提,结论,定义,公理,定理,判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）,返回目录,8. 反证法是间接证明的一种基本方法. 一般地，假设 不成立(即在原命题
4、的条件下,结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.,原命题,矛盾,返回目录,【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项,考点1 归纳推理,在数列an中，a1=1,an+1= (nN+),猜想这个 数列的通项公式.,返回目录,【解析】 an中，a1=1,a2= a3= a4= , 所以猜想an的通项公式an= . 证明如下：因为a1=1,an+1= , 所以 即 所以数列 是以 =1为首项,公差为 的等差数列. 所以 . 所以通项公式an= .,返回目录,通过归纳推理得出的结论可能正确
5、，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推 出一个明确表达的一般性命题（猜想）.,返回目录,设f(n)=n2+n+41,nN*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10) 的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.,返回目录,f(
6、1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=72, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. 43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, 归纳猜想:当nN*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数, 当n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141. f(40)的值是合数,因此,由上
7、面归纳推理得到的猜想不正确.,返回目录,在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求证: ，那么在四面体ABCD中，类比上述 结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.,【分析】首先利用综合法证明结论正确，然后依据 直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论，并予 以证明.,考点2 类比推理,返回目录,【证明】如图11-3-1所示，由射影定理得 AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC. 又BC2=AB2+AC2, 猜想：类比ABAC,ADBC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,返回目录,AE平面BCD.则 如图，连结BE交CD于F，连结AF. ABAC，ABAD, AB平面A
8、CD，而AF面ACD, ABAF.而RtABF中，AEBF, 在RtACD中，AFCD, 故猜想正确.,返回目录,根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象. 类比推理的一般步
9、骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.,返回目录,2009年高考江苏卷在平面上,若两个正三角形的边长比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1:2,则它们的体积比为 .,【解析】两个正三角形是相似的三角形,它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比为1:8.,返回目录,在锐角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求证：AB的中点M到D,E的距离相等.,考点3 演绎推理,【分析】解答本题需要利用直角三角
10、形斜边上的中 线性质作为大前提.,返回目录,【证明】（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形 大前提 在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提 所以ABD是直角三角形 结论 （2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 而M是RtABD斜边AB的中点，DM是斜边上的中线 小前提 所以DM= AB. 同理EM= AB.所以DM=EM.,返回目录,演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供
11、了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.,返回目录,证明:根据题意,0 ,0 , 0+,又tan= ,tan= , tan(+)= 0+,+= .,如图是三个拼在一起的正方形，求证：+= .,返回目录,【证明】要证 只要证 a0,故只要证,考点4 分析法证明,已知a0,求证:,【分析】所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.,返回目
12、录,从而只要证 只要证 即 ,而上述不等式显然成立, 故原不等式成立.,即,返回目录,分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证.,返回目录,已知0a1,0b1,0c1,求证:,返回目录,证明:a0,b0,c0, 要证 , 只需证1+ab+bc+caa+b+c+abc, 即1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0. 1+ab+bc+ca-(a+b+c
13、+abc)=(1-a)(1-b)(1-c), 且a1,b1,c1,(1-a)(1-b)(1-c)0, 1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0成立, .,返回目录,【分析】不等式中的a,b,c为对称的，所以从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数的均值定理，再根据不等式性质推导出证明的结论.,考点5 综合法证明,已知a,b,c0.求证：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).,返回目录,【证明】a2+b22ab,a0,b0, (a2+b2)(a+b)2ab(a+b). a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2. a3+b3a2b+ab2. 同理:b3+c
14、3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2. 将三式相加得: 2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, 3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).,返回目录,（1）在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件.简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法. （2）一般问题都是用综合法解决的，要保
15、证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性.,返回目录,在锐角三角形ABC中,求证： sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目录,证明:锐角三角形ABC中，A+B , A -B. 0 -BA . 又在（0, ）内正弦函数是单调递增函数, sinAsin（ -B）=cosB.即sinAcosB. 同理，sinBcosC, sinCcosA. 由+得 sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目录,【分析】本题结论以“至少”形式出现，从正面思考 有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.,考点6 反证法证明,若x,y都是正实数，且x+y2,求证： 或 中至少有一个成立.,返回目录,【证明】假设 或 都不成立,则有 和 同时成立. 因为x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 两式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2.
